在數學中,有很多關於希爾伯特空間上的矩陣和線性算子的不等式。而跡不等式就是與矩陣的跡有關的算子不等式。[1][2][3][4]
基本定義
令Hn表示n×n埃爾米特矩陣空間, Hn+表示全體n×n半正定埃爾米特矩陣,Hn++表示全體n×n正定埃爾米特矩陣。對於無限維希爾伯特空間上的算子,則需要跡類算子或埃爾米特算子,簡單起見,此處我們只討論矩陣。
對於任意實值函數 f 上的一個區間 I ⊂ℝ,通過在特徵值上定義函數和相應投影P乘積,可以在任意特徵值 λ 在I的算子A ∈ Hn上定義 矩陣函數 f(A) 如下:
假設有譜分解 ![{\displaystyle A=\sum _{j}\lambda _{j}P_{j}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3df74394f2a915db0027c4aa664d48d61e220e11)
定義在區間 I ⊂ℝ上的函數 f: I → ℝ 是算子單調的 ,如果對於∀n,∀ A,B ∈ Hn 且特徵值在 I中,有,
![{\displaystyle A\geq B\Rightarrow f(A)\geq f(B),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f6c85d72f64e8d07a4c1d6290c5096d0aa22def)
這裡 A ≥ B 表示 A − B ≥ 0 ,即A − B是半正定的。 注意, f(A)=A2 不是 算子單調的!
函數
是 算子凸的 如果對任意
和任意 A,B ∈ Hn 與特徵值在 I的一對矩陣,在
時有
![{\displaystyle f(\lambda A+(1-\lambda )B)\leq \lambda f(A)+(1-\lambda )f(B).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/884e6375c6ff8b2cc63e0e0ab295e0a263e285ec)
由於
和
有的特徵值在 I中,注意矩陣
特徵值也在
中。
函數
是 算子凹的 如果
是算子凸的,即上面關於
不等式的符號反過來也成立。
聯合凸性
定義在區間
上的函數
是 聯合凸的 ,如果對任意
和任意
且特徵值在
中,和任意
且特徵值在
中,在
時有
![{\displaystyle g(\lambda A_{1}+(1-\lambda )A_{2},\lambda B_{1}+(1-\lambda )B_{2})\leq \lambda g(A_{1},B_{1})+(1-\lambda )g(A_{2},B_{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c528f4cb2e944ec093da340b3f3ef53a0fa4883)
一個功能 是 如果 是聯合凸,即不平等以上為 g 是相反的。
函數 g 是 算子聯合凹的 如果 −g 是聯合凸的,即上面關於 g 不等式符號反過來成立。
跡函數
給定函數 f:ℝ→ℝ,相應地可在 Hn 上定義 跡函數
![{\displaystyle A\mapsto \operatorname {Tr} f(A)=\sum _{j}f(\lambda _{j}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/122e27566441c9699cce6493c2387c049c50e104)
其中 A 有特徵值 λ ,Tr表示算子的 跡 。
跡函數的凸性和單調性
設 f:ℝ→ℝ連續, n 是任意整數。 若
是單調遞增的,則跡函數
在 Hn上也是單調遞增的。
類似,如果
是 凸的,則跡函數
在 Hn上也是凸的,它是嚴格凸的如果 f 嚴格凸。
證明和討論可參考[1] 中。
參考文獻
- ^ 1.0 1.1 E. Carlen, Trace Inequalities and Quantum Entropy: An Introductory Course, Contemp. Math. 529 (2010) 73–140 doi:10.1090/conm/529/10428
- ^ R. Bhatia, Matrix Analysis, Springer, (1997).
- ^ B. Simon, Trace Ideals and their Applications, Cambridge Univ. Press, (1979); Second edition. Amer. Math. Soc., Providence, RI, (2005).
- ^ M. Ohya, D. Petz, Quantum Entropy and Its Use, Springer, (1993).