在数学中,有很多关于希尔伯特空间上的矩阵和线性算子的不等式。而迹不等式就是与矩阵的迹有关的算子不等式。[1][2][3][4]
基本定义
令Hn表示n×n埃尔米特矩阵空间, Hn+表示全体n×n半正定埃尔米特矩阵,Hn++表示全体n×n正定埃尔米特矩阵。对于无限维希尔伯特空间上的算子,则需要迹类算子或埃尔米特算子,简单起见,此处我们只讨论矩阵。
对于任意实值函数 f 上的一个区间 I ⊂ℝ,通过在特征值上定义函数和相应投影P乘积,可以在任意特征值 λ 在I的算子A ∈ Hn上定义 矩阵函数 f(A) 如下:
假设有谱分解 ![{\displaystyle A=\sum _{j}\lambda _{j}P_{j}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3df74394f2a915db0027c4aa664d48d61e220e11)
定义在区间 I ⊂ℝ上的函数 f: I → ℝ 是算子单调的 ,如果对于∀n,∀ A,B ∈ Hn 且特征值在 I中,有,
![{\displaystyle A\geq B\Rightarrow f(A)\geq f(B),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f6c85d72f64e8d07a4c1d6290c5096d0aa22def)
这里 A ≥ B 表示 A − B ≥ 0 ,即A − B是半正定的。 注意, f(A)=A2 不是 算子单调的!
函数
是 算子凸的 如果对任意
和任意 A,B ∈ Hn 与特征值在 I的一对矩阵,在
时有
![{\displaystyle f(\lambda A+(1-\lambda )B)\leq \lambda f(A)+(1-\lambda )f(B).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/884e6375c6ff8b2cc63e0e0ab295e0a263e285ec)
由于
和
有的特征值在 I中,注意矩阵
特征值也在
中。
函数
是 算子凹的 如果
是算子凸的,即上面关于
不等式的符号反过来也成立。
联合凸性
定义在区间
上的函数
是 联合凸的 ,如果对任意
和任意
且特征值在
中,和任意
且特征值在
中,在
时有
![{\displaystyle g(\lambda A_{1}+(1-\lambda )A_{2},\lambda B_{1}+(1-\lambda )B_{2})\leq \lambda g(A_{1},B_{1})+(1-\lambda )g(A_{2},B_{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c528f4cb2e944ec093da340b3f3ef53a0fa4883)
一个功能 是 如果 是联合凸,即不平等以上为 g 是相反的。
函数 g 是 算子联合凹的 如果 −g 是联合凸的,即上面关于 g 不等式符号反过来成立。
迹函数
给定函数 f:ℝ→ℝ,相应地可在 Hn 上定义 迹函数
![{\displaystyle A\mapsto \operatorname {Tr} f(A)=\sum _{j}f(\lambda _{j}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/122e27566441c9699cce6493c2387c049c50e104)
其中 A 有特征值 λ ,Tr表示算子的 迹 。
迹函数的凸性和单调性
设 f:ℝ→ℝ连续, n 是任意整数。 若
是单调递增的,则迹函数
在 Hn上也是单调递增的。
类似,如果
是 凸的,则迹函数
在 Hn上也是凸的,它是严格凸的如果 f 严格凸。
证明和讨论可参考[1] 中。
参考文献
- ^ 1.0 1.1 E. Carlen, Trace Inequalities and Quantum Entropy: An Introductory Course, Contemp. Math. 529 (2010) 73–140 doi:10.1090/conm/529/10428
- ^ R. Bhatia, Matrix Analysis, Springer, (1997).
- ^ B. Simon, Trace Ideals and their Applications, Cambridge Univ. Press, (1979); Second edition. Amer. Math. Soc., Providence, RI, (2005).
- ^ M. Ohya, D. Petz, Quantum Entropy and Its Use, Springer, (1993).