譜相關密度 (spectral correlation density , SCD),有時也稱為循環譜密度(cyclic spectral density)或頻譜相關函數(spectral correlation function),是描述時間序列的所有頻移版本對的交叉頻譜密度的函數。譜相關密度僅適用於周期平穩過程,或稱為循環平穩過程,普通平穩過程不具備譜相關性。 [1]譜相關被廣泛用於信號檢測和信號分類。 [2] [3]譜相關密度與每個雙線性時頻分布密切相關,但不被認為是 Cohen 類分布。
定義
時間序列的循環自相關函數
計算如下:
其中 (*) 表示複數的共軛。根據Wiener-Khinchin 定理[有疑問,需討論],譜相關密度為:
估計方法
對數字信號而言,SCD 可按任意頻率和時間分辨率進行估計。由於直接計算SCD具有較高的計算複雜性,為滿足信號實時分析的需求,有幾類較為有效的信號譜相關估計方法被提出。
目前常用的算法是 FFT 累加法 (FFT Accumulation Method, FAM) 和帶狀譜相關法 (Strip-Spectral Correlation Algorithm), [4]近日,又有一種新的快速頻譜相關 (fast-spectral-correlation, FSC) 算法[5]被提出 。
FFT累加法(FAM)
在本節中,我們將介紹實際在計算機上估計SCD的方法。如使用MATLAB或Python中的NumPy庫,以下步驟的實現將相當簡單。
FFT累加法 (FAM) 是一種計算 SCD 的數字方法。它的輸入是一組 IQ 樣本矩陣,輸出是復值圖像(或者說是一復值矩陣),即目標 SCD。FAM輸入的信號、或說是 IQ 樣本矩陣
,應為復值張量的形式,或者是尺寸為
的多維數組的形式 ,其中數組中的每個元素都是一個 IQ 樣本點。
FAM的第一步,是將所輸入信號
分為多個相互重疊且長度為
的數據幀,並將其組合成矩陣形式,記為
。
其中,
兩數據幀間起始位置相距的長度。為實現重疊,應有
。
是形狀為
的張量,
取決於
能夠容納多少幀 。
隨後,將一形狀為
的窗函數
,應用於
的每一行 (如漢明窗等),得到
。
其中
是逐元素乘法,也就是將矩陣中的每個元素分別與對應位置的窗函數相乘。接下來,要對中的每一行進行 FFT ,得到
。
就是通常稱為瀑布圖或頻譜圖的矩陣。 FAM 的下一步是校正FFT後數據幀的相位延遲。
其中
對應於 FFT 結果中的每個數字頻率,是形狀為
張量。
隨後,通過求經 FFT 後結果的自相關,得到形狀為
張量
。
其中
表示復共軛。換言之,若記
是
的矩陣,
可改寫為
其中 H 表示矩陣的Hermitian (共軛轉置)矩陣。接下來的一步,是將
沿着第一維分別進行 FFT。
是一個包含完整 SCD 信息的三維張量,但我們的目標是構建形狀為
的二維張量,即矩陣或着圖像的形式,張量的兩個維度分別對應特定頻率
和循環頻率
。
中所有
的值可以通過張量
的到,而所有的頻率值
則記錄在張量
中。這裡的
和
是歸一化頻率。
上式中,
。至此,SCD 可以退化為一個二位的圖像或矩陣
,
中的
對都可以賦為0,有效值可以通過
和
獲取 。
跳過第二次 FFT 直接估計 SCD
完整計算一次 SCD 具有相當大的複雜度,複雜度的主要來源是第二輪 FFT。幸運的是,從
估計
SCD 的計算公式為
為了更小的計算複雜度,我們可以通過下式,直接從
計算
,因為在 FFT 前或後計算FFT中所有數值的均值是等效的。
需要注意的是,
將看起來像真正 SCD 的
旋轉45 度的版本 。
參考文獻
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- ^ Yoo, Do-Sik; Lim, Jongtae; Kang, Min-Hong. ATSC digital television signal detection with spectral correlation density. Journal of Communications and Networks. 2014-12-01, 16 (6): 600–612. ISSN 1229-2370. S2CID 757095. doi:10.1109/JCN.2014.000106.
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