谱相关密度 (spectral correlation density , SCD),有时也称为循环谱密度(cyclic spectral density)或频谱相关函数(spectral correlation function),是描述时间序列的所有频移版本对的交叉频谱密度的函数。谱相关密度仅适用于周期平稳过程,或称为循环平稳过程,普通平稳过程不具备谱相关性。 [1]谱相关被广泛用于信号检测和信号分类。 [2] [3]谱相关密度与每个双线性时频分布密切相关,但不被认为是 Cohen 类分布。
定义
时间序列的循环自相关函数
计算如下:
其中 (*) 表示复数的共轭。根据Wiener-Khinchin 定理[有疑问,需讨论],谱相关密度为:
估计方法
对数字信号而言,SCD 可按任意频率和时间分辨率进行估计。由于直接计算SCD具有较高的计算复杂性,为满足信号实时分析的需求,有几类较为有效的信号谱相关估计方法被提出。
目前常用的算法是 FFT 累加法 (FFT Accumulation Method, FAM) 和带状谱相关法 (Strip-Spectral Correlation Algorithm), [4]近日,又有一种新的快速频谱相关 (fast-spectral-correlation, FSC) 算法[5]被提出 。
FFT累加法(FAM)
在本节中,我们将介绍实际在计算机上估计SCD的方法。如使用MATLAB或Python中的NumPy库,以下步骤的实现将相当简单。
FFT累加法 (FAM) 是一种计算 SCD 的数字方法。它的输入是一组 IQ 样本矩阵,输出是复值图像(或者说是一复值矩阵),即目标 SCD。FAM输入的信号、或说是 IQ 样本矩阵
,应为复值张量的形式,或者是尺寸为
的多维数组的形式 ,其中数组中的每个元素都是一个 IQ 样本点。
FAM的第一步,是将所输入信号
分为多个相互重叠且长度为
的数据帧,并将其组合成矩阵形式,记为
。
其中,
两数据帧间起始位置相距的长度。为实现重叠,应有
。
是形状为
的张量,
取决于
能够容纳多少帧 。
随后,将一形状为
的窗函数
,应用于
的每一行 (如汉明窗等),得到
。
其中
是逐元素乘法,也就是将矩阵中的每个元素分别与对应位置的窗函数相乘。接下来,要对中的每一行进行 FFT ,得到
。
就是通常称为瀑布图或频谱图的矩阵。 FAM 的下一步是校正FFT后数据帧的相位延迟。
其中
对应于 FFT 结果中的每个数字频率,是形状为
张量。
随后,通过求经 FFT 后结果的自相关,得到形状为
张量
。
其中
表示复共轭。换言之,若记
是
的矩阵,
可改写为
其中 H 表示矩阵的Hermitian (共轭转置)矩阵。接下来的一步,是将
沿着第一维分别进行 FFT。
是一个包含完整 SCD 信息的三维张量,但我们的目标是构建形状为
的二维张量,即矩阵或着图像的形式,张量的两个维度分别对应特定频率
和循环频率
。
中所有
的值可以通过张量
的到,而所有的频率值
则记录在张量
中。这里的
和
是归一化频率。
上式中,
。至此,SCD 可以退化为一个二位的图像或矩阵
,
中的
对都可以赋为0,有效值可以通过
和
获取 。
跳过第二次 FFT 直接估计 SCD
完整计算一次 SCD 具有相当大的复杂度,复杂度的主要来源是第二轮 FFT。幸运的是,从
估计
SCD 的计算公式为
为了更小的计算复杂度,我们可以通过下式,直接从
计算
,因为在 FFT 前或后计算FFT中所有数值的均值是等效的。
需要注意的是,
将看起来像真正 SCD 的
旋转45 度的版本 。
参考文献
- ^ Gardner, W.A. Measurement of spectral correlation. IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing. 1986-10-01, 34 (5): 1111–1123. ISSN 0096-3518. doi:10.1109/TASSP.1986.1164951.
- ^ Yoo, Do-Sik; Lim, Jongtae; Kang, Min-Hong. ATSC digital television signal detection with spectral correlation density. Journal of Communications and Networks. 2014-12-01, 16 (6): 600–612. ISSN 1229-2370. S2CID 757095. doi:10.1109/JCN.2014.000106.
- ^ Hong, S.; Like, E.; Wu, Zhiqiang; Tekin, C. Multi-User Signal Classification via Spectral Correlation. 2010 7th IEEE Consumer Communications and Networking Conference (CCNC). 2010-01-01: 1–5. ISBN 978-1-4244-5175-3. S2CID 17126519. doi:10.1109/CCNC.2010.5421830.
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- ^ Roberts, R.S.; Brown, W.A.; Loomis, H.H. Computationally efficient algorithms for cyclic spectral analysis. IEEE Signal Processing Magazine. 1991-04-01, 8 (2): 38–49. Bibcode:1991ISPM....8...38R. ISSN 1053-5888. S2CID 1763992. doi:10.1109/79.81008.