狄拉克符號或狄拉克標記(英語:Dirac notation)是量子力學中廣泛應用於描述量子態的一套標準符號系統。在這套系統中,每一個量子態都被描述為希爾伯特空間中的態向量,定義為右矢(ket):
;每一個右矢的共軛轉置定義為其左矢(bra);換一種說法,右矢的厄米共軛(即取轉置運算加上共軛複數運算),就可以得到左矢。
此標記法為狄拉克於1939年將「bracket」(括號)這個詞拆開後所造的。[1]在中國方面,一些舊有的教科書和文獻中也將其譯為「刁矢」和「刃矢」、或「彳矢」和「亍矢」,現已棄用。
矩陣表示
右矢與左矢可分別用N×1階和1×N階矩陣表示為:
![{\displaystyle |\psi \rangle ={\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\\\psi _{3}\\\psi _{4}\\\vdots \\\psi _{N}\\\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/491f66eda268d4d8415e807c600af128b5475a65)
![{\displaystyle \langle \psi |={\begin{pmatrix}\psi _{1}^{*},&\psi _{2}^{*},&\psi _{3}^{*},&\psi _{4}^{*},&\cdots ,&\psi _{N}^{*}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb9df0666a0abb744859ab1dfe443d2df9fe637e)
不同的兩個態矢量的內積則由一個括號來表示:
,當狄拉克符號作用於兩個基矢時,所得值為:
(
為克羅內克函數)
相同的態矢量內積為:
。
性質
因為每個右矢是複希爾伯特空間中的一個向量,而每個右矢-左矢關係是內積,而直接地可以得到如下的操作方式:
- 給定任何左矢
、右矢
以及
,還有複數c1及c2,則既然左矢是線性泛函,根據線性泛函的加法與純量乘法的定義,
。
- 給定任何右矢
、左矢
以及
,還有複數c1及c2,則既然右矢是線性泛函,
。
- 給定任何右矢
及
,還有複數c1及c2,根據內積的性質(其中c*代表c的複數共軛),
與
對偶。
- 給定任何左矢
及右矢
,內積的一個公理性質指出
。
- 給定任何算符
、左矢
及右矢
,它們之間的合法相乘滿足乘法結合公理,例如,[2]:16-17
、
。
相關條目
參考文獻