狄拉克符号或狄拉克标记(英语:Dirac notation)是量子力学中广泛应用于描述量子态的一套标准符号系统。在这套系统中,每一个量子态都被描述为希尔伯特空间中的态向量,定义为右矢(ket):
;每一个右矢的共轭转置定义为其左矢(bra);换一种说法,右矢的厄米共轭(即取转置运算加上共轭复数运算),就可以得到左矢。
此标记法为狄拉克于1939年将“bracket”(括号)这个词拆开后所造的。[1]在中国方面,一些旧有的教科书和文献中也将其译为“刁矢”和“刃矢”、或“彳矢”和“亍矢”,现已弃用。
矩阵表示
右矢与左矢可分别用N×1阶和1×N阶矩阵表示为:
![{\displaystyle |\psi \rangle ={\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\\\psi _{3}\\\psi _{4}\\\vdots \\\psi _{N}\\\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/491f66eda268d4d8415e807c600af128b5475a65)
![{\displaystyle \langle \psi |={\begin{pmatrix}\psi _{1}^{*},&\psi _{2}^{*},&\psi _{3}^{*},&\psi _{4}^{*},&\cdots ,&\psi _{N}^{*}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb9df0666a0abb744859ab1dfe443d2df9fe637e)
不同的两个态矢量的内积则由一个括号来表示:
,当狄拉克符号作用于两个基矢时,所得值为:
(
为克罗内克函数)
相同的态矢量内积为:
。
性质
因为每个右矢是复希尔伯特空间中的一个向量,而每个右矢-左矢关系是内积,而直接地可以得到如下的操作方式:
- 给定任何左矢
、右矢
以及
,还有复数c1及c2,则既然左矢是线性泛函,根据线性泛函的加法与纯量乘法的定义,
。
- 给定任何右矢
、左矢
以及
,还有复数c1及c2,则既然右矢是线性泛函,
。
- 给定任何右矢
及
,还有复数c1及c2,根据内积的性质(其中c*代表c的复数共轭),
与
对偶。
- 给定任何左矢
及右矢
,内积的一个公理性质指出
。
- 给定任何算符
、左矢
及右矢
,它们之间的合法相乘满足乘法结合公理,例如,[2]:16-17
、
。
相关条目
参考文献