泊松求和公式(英文:Poisson Summation Formula)由法國數學家泊松所發現,它陳述了一個連續時間的信號,做無限多次的週期複製後,其傅立葉級數與其傅立葉轉換之間數值的關係,亦可用來求周期信號的傅立葉轉換。
公式
設無周期函數
具有傅里葉變換:
![{\displaystyle S(f)\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }s(x)\ e^{-i2\pi fx}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e85def3affa06eb370e460e0c7f7a0414a156b9f)
這裡的
也可以替代表示為
和
。有如下基本的泊松求和公式:
![{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }s(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }S(k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44982522b606faf04a155827d13a9c0e7013f3d0)
對於二者通過周期求和而得到的周期函數:
![{\displaystyle s_{_{P}}(x)\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }s(x+nP),\quad n\in \mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/910faebafd43de29f6c38905ecf347d97f62eaef)
![{\displaystyle S_{1/T}(f)\triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }S(f+k/T),\quad k,T\in \mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc24f0cdaebcce6ddd7c33430a56e0665266aace)
這裡的參數
並且
,它們有着同
一樣的單位。有如下普遍的泊松求和公式[1][2]:
![{\displaystyle s_{_{P}}(x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\underbrace {{\frac {1}{P}}\cdot S(k/P)} _{S[k]}\ e^{i2\pi {\frac {k}{P}}x},\quad k\in \mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e75936265f03753284356fca104c3faffc1295e)
這是一個傅里葉級數展開,其係數是函數
的採樣。還有:
![{\displaystyle S_{1/T}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\underbrace {T\cdot s(nT)} _{s[n]}\ e^{-i2\pi nTf},\quad n,T\in \mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13dc81218ed4f7e20610a34a6d1eeec2f6486999)
這也叫做離散時間傅里葉變換。
推導泊松求和公式所需的先備公式
考慮狄拉克δ函數
,製作一個有無限多個
,且間隔為
的週期函數
。
其傅立葉轉換為①
②
證明①轉換對
=
=
。
證明②轉換對
設
為週期函數
的傅立葉級數。
可表示為
。
由傅立葉級數得:
。
因此,
。
得到等式:![{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-j2\pi nT_{0}f}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd016e98874bc107b0554cf02627233b00626705)
,
經由適當的變量代換,
以
代換,
以
代換,得
(因為n從負無限大到正無限大)
推導泊松求和公式
從對頻域做取樣尋找關係式
當
時,得
,
表示一個信號的在時域以
為間隔做取樣,在頻域以
為間隔做取樣,則兩者的所有取樣點的總和會有
倍的關係。
從對時域做取樣尋找關係式
當
時,得
,
表示一個信號的在時域以
為間隔做取樣,在頻域以
為間隔做取樣,則兩者的所有取樣點的總和會有
倍的關係。
綜合上述,若時域取樣間隔
時,同樣地,頻域取樣間隔
時,得泊松求和公式
。
週期信號的傅立葉轉換
考慮一個週期為
的週期信號
,
為
的傅立葉轉換,取出g(t)在區間
的一個完整週期
,亦即
,
是
的傅立葉轉換,其中
是矩形函數。
是
的傅立葉級數。
則
得出一週期信號的傅立葉轉換與其傅立葉級數之間的關係。
引用
- ^
Pinsky, M., Introduction to Fourier Analysis and Wavelets., Brooks Cole, 2002, ISBN 978-0-534-37660-4
- ^
Zygmund, Antoni, Trigonometric Series 2nd, Cambridge University Press, 19681988, ISBN 978-0-521-35885-9
延伸閱讀
- Benedetto, J.J.; Zimmermann, G., Sampling multipliers and the Poisson summation formula, J. Fourier Ana. App., 1997, 3 (5) [2008-06-19], (原始內容存檔於2011-05-24)
- Gasquet, Claude; Witomski, Patrick, Fourier Analysis and Applications, Springer: 344–352, 1999, ISBN 0-387-98485-2
- Higgins, J.R., Five short stories about the cardinal series, Bull. Amer. Math. Soc., 1985, 12 (1): 45–89 [2023-10-30], doi:10.1090/S0273-0979-1985-15293-0
, (原始內容存檔於2020-08-12)