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泊松求和公式

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泊松求和公式英文Poisson Summation Formula)由法國數學家泊松所發現,它陳述了一個連續時間的信號,做無限多次的週期複製後,其傅立葉級數與其傅立葉轉換之間數值的關係,亦可用來求周期信號的傅立葉轉換。

公式

设无周期函数具有傅里叶变换

这里的也可以替代表示为。有如下基本的泊松求和公式:

对于二者通过周期求和英语Periodic summation而得到的周期函数

这里的参数并且,它们有着同一样的单位。有如下普遍的泊松求和公式[1][2]

这是一个傅里叶级数展开,其系数是函数的采样。还有:

这也叫做离散时间傅里叶变换

推導泊松求和公式所需的先備公式

考慮狄拉克δ函數,製作一個有無限多個,且間隔為的週期函數

其傅立葉轉換為①

證明①轉換對

= =

證明②轉換對

為週期函數的傅立葉級數。

可表示為

傅立葉級數得:

因此,

得到等式:

經由適當的變量代換,代換,代換,得(因為n從負無限大到正無限大)

推導泊松求和公式

從對頻域做取樣尋找關係式

時,得

表示一個信號的在時域以為間隔做取樣,在頻域以為間隔做取樣,則兩者的所有取樣點的總和會有倍的關係。


從對時域做取樣尋找關係式

時,得

表示一個信號的在時域以為間隔做取樣,在頻域以為間隔做取樣,則兩者的所有取樣點的總和會有倍的關係。


綜合上述,若時域取樣間隔時,同樣地,頻域取樣間隔時,得泊松求和公式

週期信號的傅立葉轉換

考慮一個週期為的週期信號傅立葉轉換,取出g(t)在區間的一個完整週期,亦即傅立葉轉換,其中矩形函數傅立葉級數

得出一週期信號的傅立葉轉換與其傅立葉級數之間的關係。

引用

  1. ^ Pinsky, M., Introduction to Fourier Analysis and Wavelets., Brooks Cole, 2002, ISBN 978-0-534-37660-4 
  2. ^ Zygmund, Antoni, Trigonometric Series 2nd, Cambridge University Press, 19681988, ISBN 978-0-521-35885-9 

延伸阅读