楊對稱化子

楊對稱化子（英語：Young symmetrizer），是表示論中的一種工具，用於構造對稱羣${S}_{n}$的不可約表示。

定義

• ${S}_{n}$是 n次對稱群
• $\mathbb {C} {S}_{n}$是${S}_{n}$的羣環
• $\lambda =(\lambda _{1},\lambda _{2},\cdot \cdot \cdot ,\lambda _{k})$表示一個楊圖
  • 其中$\lambda _{1}+\cdot \cdot \cdot +\lambda _{k}=n$是n的整數分拆。
• $P=\{g\in {S}_{n}|$楊表中任一行所構成的集合都在 $g$ 下不變$\}$
• $Q=\{g\in {S}_{n}|$楊表中任一列所構成的集合都在 $g$ 下不變$\}$
• $a_{\lambda }=\sum _{g\in P}e_{g}\in \mathbb {C} {S}_{n}$
• $b_{\lambda }=\sum _{g\in Q}\operatorname {sgn}(g)e_{g}\in \mathbb {C} {S}_{n}$

其中 $e_{g}$ 是對應於 $g$ 的單位向量， $\operatorname {sgn}(g)$ 是 $g$ 的置換符號。於是乘積

• $c_{\lambda }:=a_{\lambda }b_{\lambda }\in \mathbb {C} {S}_{n}$

就稱爲楊對稱化子(Young symmetrizer)。

參考書目

• William Fulton / Joe Harris (1991): "Representation Theory", ISBN 0-387-97495-4 , pp.46,45