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格林公式

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在物理學與數學中,格林定理給出了沿封閉曲線 C線積分與以 C 為邊界的平面區域 D 上的雙重積分的聯繫。格林定理是斯托克斯定理的二維特例,以英國數學家喬治·格林(George Green)命名。[1]

定理

設閉區域由分段光滑的簡單曲線 圍成,函數上有一階連續偏導數,則有[2][3]

其中的取正向的邊界曲線。

此公式叫做格林公式,它給出了沿着閉曲線曲線積分所包圍的區域上的二重積分之間的關係。另見格林恆等式。格林公式還可以用來計算平面圖形的面積。

D 為一個簡單區域時的證明

以下是特殊情況下定理的一個證明,其中D是一種I型的區域,C2C4是豎直的直線。對於II型的區域D,其中C1C3是水平的直線。

如果我們可以證明

以及

那麼就證明了格林公式是正確的。

把右圖中I型的區域D定義為:

其中g1g2是區間[a, b]內的連續函數。計算(1)式中的二重積分:

現在計算(1)式中的曲線積分。C可以寫成四條曲線C1C2C3C4的併集。

對於C1,使用參數方程:。那麼:

對於C3,使用參數方程。那麼:

沿着C3的積分是負數,因為它是沿着反方向從ba。在C2C4上,x是常數,因此:

所以:

(3)和(4)相加,便得到(1)。類似地,也可以得到(2)。

應用

計算區域面積

使用格林公式,可以用線積分計算區域的面積[4]。因為區域D的面積等於,所以只要我們選取適當的LM使得,就可以通過來計算面積。

一種可能的取值是[4]

參見

參考文獻

  1. ^ George Green, An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism (Nottingham, England: T. Wheelhouse, 1828). Green did not actually derive the form of "Green's theorem" which appears in this article; rather, he derived a form of the "divergence theorem", which appears on pages 10-12頁面存檔備份,存於網際網路檔案館) of his Essay.
    In 1846, the form of "Green's theorem" which appears in this article was first published, without proof, in an article by Augustin Cauchy: A. Cauchy (1846) "Sur les intégrales qui s'étendent à tous les points d'une courbe fermée" (On integrals that extend over all of the points of a closed curve), Comptes rendus, 23: 251-255. (The equation appears at the bottom of page 254, where (S) denotes the line integral of a function k along the curve s that encloses the area S.)
    A proof of the theorem was finally provided in 1851 by Bernhard Riemann in his inaugural dissertation: Bernhard Riemann (1851) Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse頁面存檔備份,存於網際網路檔案館) (Basis for a general theory of functions of a variable complex quantity), (Göttingen, (Germany): Adalbert Rente, 1867); see pages 8 - 9.
  2. ^ Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3
  3. ^ Vector Analysis (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipschutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7
  4. ^ 4.0 4.1 Stewart, James. Calculus 6th. Thomson, Brooks/Cole. 2007.