外積 (張量積)
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外積(英語:outer product),在線性代數中一般指兩個向量的張量積,其結果為一矩陣;與外積相對,兩向量的內積結果為純量。
外積也可視作是矩陣的克羅內克積的一種特例。注意到:一些作者將「張量的外積」作為張量積的同義詞。
矩陣乘法定義
向量的外積是矩陣的克羅內克積的特殊情況。
這裡的張量積就是向量的乘法。
使用坐標:
對於複數向量,習慣使用的復共軛(指示為),因為人們把行向量認為是對偶空間的復共軛向量空間的元素:
如果是列向量,定義變為:
這裡的是的共軛轉置。
相對於外積
如果是列向量,而且m = n,則可以採用其他方式的積,生成一個標量(或矩陣):
抽象定義
具體的說,給定,
這裡的是在w上的求值,它生成一個標量,接着乘v。
可作為替代,它是與的複合。
如果,則還可以配對,這是內積。