埃爾德什等差數列猜想

  提示：此條目的主題不是埃爾德什-圖蘭堆壘基猜想，也不是埃爾德什-圖蘭不等式。

埃爾德什等差數列猜想（英語：Erdős conjecture on arithmetic progressions），又稱埃爾德什-圖蘭猜想（英語：Erdős-Turán conjecture），是由兩位匈牙利數學家埃爾德什·帕爾（沃爾夫數學獎得主）與圖蘭·帕爾共同提出的數論猜想，稱倒數和發散的正整數集合中，必有任意長的等差數列。

猜想內容

對正整數數列$\{1,2,3,\ldots ,n,n+1,\ldots \}$的任意子序列$\{A_{n}\}$，若：

其所有元素的倒數和發散，即 $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{A_{n}}}=\infty$

則：

$\{A_{n}\}$含有任意長度的等差子序列。

發展

1936年，埃爾德什與好友圖蘭提出了一個較弱的等差數列猜想，即：具有正密度的自然數子集含有無窮多長度為3的等差數列。

1952年，克勞斯·羅特證明了這個較弱版的猜想。

1975年，塞邁雷迪·安德烈在克勞斯·羅特證明的基礎上將這個較弱版本的猜想推廣為塞邁雷迪定理。

1976年，埃爾德什在一次紀念好友圖蘭的演講中提出了埃爾德什等差數列猜想，並懸賞5000美元給第一個證明此猜想的人。

2004年，本猜想的弱化版本，也是前述塞邁雷迪定理的推廣，格林-陶定理被本·格林和陶哲軒證明。

延伸閱讀

• P. Erdős: Résultats et problèmes en théorie de nombres （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, Séminaire Delange-Pisot-Poitou (14e année: 1972/1973), Théorie des nombres, Fasc 2., Exp. No. 24, pp. 7,
• P. Erdős and P.Turán, On some sequences of integers, J. London Math. Soc. 11 (1936), 261–264.
• P. Erdős: Problems in number theory and combinatorics, Proc. Sixth Manitoba Conf. on Num. Math., Congress Numer. XVIII(1977), 35–58.
• P. Erdős: On the combinatorial problems which I would most like to see solved, Combinatorica, 1(1981), 28. doi:10.1007/BF02579174