拓撲學 和微積分 中，圓形函數 （round function）是流形 M 上的標量函數
M
→
R
{\displaystyle M\to {\mathbb {R} }}
臨界點 形成連通分量 ，每個都同胚 於圓
S
1
{\displaystyle S^{1}}
莫爾斯–博特函數 的特例。
黑色圓圈就是其中一個臨界環。 例子 例如，令M 為環面 ；
K
=
(
0
,
2
π
)
×
(
0
,
2
π
)
.
{\displaystyle K=(0,2\pi )\times (0,2\pi ).\,}
則知映射
X
:
K
→
R
3
{\displaystyle X\colon K\to \mathbb {R} ^{3}}
X
(
θ
,
ϕ
)
=
(
(
2
+
cos
θ
)
cos
ϕ
,
(
2
+
cos
θ
)
sin
ϕ
,
sin
θ
)
{\displaystyle X(\theta ,\phi )=((2+\cos \theta )\cos \phi ,(2+\cos \theta )\sin \phi ,\sin \theta )\,}
是幾乎所有M 的參數化。現在，通過射影
π
3
:
R
3
→
R
{\displaystyle \pi _{3}\colon {\mathbb {R} }^{3}\to {\mathbb {R} }}
G
=
π
3
|
M
:
M
→
R
,
(
θ
,
ϕ
)
↦
sin
θ
{\displaystyle G=\pi _{3}|_{M}\colon M\to {\mathbb {R} },(\theta ,\phi )\mapsto \sin \theta \,}
G
=
G
(
θ
,
ϕ
)
=
sin
θ
{\displaystyle G=G(\theta ,\phi )=\sin \theta }
g
r
a
d
G
(
θ
,
ϕ
)
=
(
∂
G
∂
θ
,
∂
G
∂
ϕ
)
(
θ
,
ϕ
)
=
(
0
,
0
)
{\displaystyle {\rm {grad}}\ G(\theta ,\phi )=\left({{\partial }G \over {\partial }\theta },{{\partial }G \over {\partial }\phi }\right)\!\left(\theta ,\phi \right)=(0,0)}
的函數，當且僅當
θ
=
π
2
,
3
π
2
{\displaystyle \theta ={\pi \over 2},\ {3\pi \over 2}}
θ
{\displaystyle \theta }
X
(
π
/
2
,
ϕ
)
=
(
2
cos
ϕ
,
2
sin
ϕ
,
1
)
{\displaystyle X({\pi /2},\phi )=(2\cos \phi ,2\sin \phi ,1)\,}
X
(
3
π
/
2
,
ϕ
)
=
(
2
cos
ϕ
,
2
sin
ϕ
,
−
1
)
{\displaystyle X({3\pi /2},\phi )=(2\cos \phi ,2\sin \phi ,-1)\,}
代表環面M 上的兩個極值圓。 注意此函數的黑塞矩陣 是
h
e
s
s
(
G
)
=
[
−
sin
θ
0
0
0
]
{\displaystyle {\rm {hess}}(G)={\begin{bmatrix}-\sin \theta &0\\0&0\end{bmatrix}}}
這清楚地表明，在標記圓處
r
a
n
k
(
h
e
s
s
(
G
)
)
=
1
{\displaystyle {\rm {rank}}({\rm {hess}}(G))=1}
圓複雜度 模仿LS範疇 論，可以定義流形上是否存在圓形函數和/或臨界環的最小數目的圓複雜度 。
參考文獻 Siersma and Khimshiasvili, On minimal round functions , Preprint 1118, Department of Mathematics, Utrecht University, 1999, pp. 18.[1] . An update at [2] 
