拓扑学 和微积分 中，圆形函数 （round function）是流形 M 上的标量函数
M
→
R
{\displaystyle M\to {\mathbb {R} }}
临界点 形成连通分量 ，每个都同胚 于圆
S
1
{\displaystyle S^{1}}
莫尔斯–博特函数 的特例。
黑色圆圈就是其中一个临界环。 例子 例如，令M 为环面 ；
K
=
(
0
,
2
π
)
×
(
0
,
2
π
)
.
{\displaystyle K=(0,2\pi )\times (0,2\pi ).\,}
则知映射
X
:
K
→
R
3
{\displaystyle X\colon K\to \mathbb {R} ^{3}}
X
(
θ
,
ϕ
)
=
(
(
2
+
cos
θ
)
cos
ϕ
,
(
2
+
cos
θ
)
sin
ϕ
,
sin
θ
)
{\displaystyle X(\theta ,\phi )=((2+\cos \theta )\cos \phi ,(2+\cos \theta )\sin \phi ,\sin \theta )\,}
是几乎所有M 的参数化。现在，通过射影
π
3
:
R
3
→
R
{\displaystyle \pi _{3}\colon {\mathbb {R} }^{3}\to {\mathbb {R} }}
G
=
π
3
|
M
:
M
→
R
,
(
θ
,
ϕ
)
↦
sin
θ
{\displaystyle G=\pi _{3}|_{M}\colon M\to {\mathbb {R} },(\theta ,\phi )\mapsto \sin \theta \,}
G
=
G
(
θ
,
ϕ
)
=
sin
θ
{\displaystyle G=G(\theta ,\phi )=\sin \theta }
g
r
a
d
G
(
θ
,
ϕ
)
=
(
∂
G
∂
θ
,
∂
G
∂
ϕ
)
(
θ
,
ϕ
)
=
(
0
,
0
)
{\displaystyle {\rm {grad}}\ G(\theta ,\phi )=\left({{\partial }G \over {\partial }\theta },{{\partial }G \over {\partial }\phi }\right)\!\left(\theta ,\phi \right)=(0,0)}
的函数，当且仅当
θ
=
π
2
,
3
π
2
{\displaystyle \theta ={\pi \over 2},\ {3\pi \over 2}}
θ
{\displaystyle \theta }
X
(
π
/
2
,
ϕ
)
=
(
2
cos
ϕ
,
2
sin
ϕ
,
1
)
{\displaystyle X({\pi /2},\phi )=(2\cos \phi ,2\sin \phi ,1)\,}
X
(
3
π
/
2
,
ϕ
)
=
(
2
cos
ϕ
,
2
sin
ϕ
,
−
1
)
{\displaystyle X({3\pi /2},\phi )=(2\cos \phi ,2\sin \phi ,-1)\,}
代表环面M 上的两个极值圆。 注意此函数的黑塞矩阵 是
h
e
s
s
(
G
)
=
[
−
sin
θ
0
0
0
]
{\displaystyle {\rm {hess}}(G)={\begin{bmatrix}-\sin \theta &0\\0&0\end{bmatrix}}}
这清楚地表明，在标记圆处
r
a
n
k
(
h
e
s
s
(
G
)
)
=
1
{\displaystyle {\rm {rank}}({\rm {hess}}(G))=1}
圆复杂度 模仿LS范畴 论，可以定义流形上是否存在圆形函数和/或临界环的最小数目的圆复杂度 。
参考文献 Siersma and Khimshiasvili, On minimal round functions , Preprint 1118, Department of Mathematics, Utrecht University, 1999, pp. 18.[1] . An update at [2] 
