數學和理論物理學中,若一張量的符號(+/−)隨着指標子集的互換而變化,則稱此向量在指標子集上是反對稱的(或相對於指標子集反對稱)。[1][2]指標子集一般必須是全協變或全反變的。
例如,
當張量對前三個指標反對稱時成立。
若張量在交換每對指標時符號都變化,就稱此向量是全反對稱的。k階全反對稱協變張量場可稱作微分k-形式,全反對稱反變向量場可稱作k-向量場。
反對稱張量與對稱張量
對指標i、j反對稱的張量A與對指標i、j對稱的張量B的縮並都是0。
對於包含
的一般張量U和一對指標i、j,U可分為對稱部分和反對稱部分:
![{\displaystyle U_{(ij)k\dots }={\frac {1}{2}}(U_{ijk\dots }+U_{jik\dots })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4379276f7d89121b2870ab6faffbaabf901c37b9) |
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(對稱部分)
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![{\displaystyle U_{[ij]k\dots }={\frac {1}{2}}(U_{ijk\dots }-U_{jik\dots })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e914bcff0ea5c2b16463d4b9ed87b781389e2d09) |
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(反對稱部分)
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其他指標對也可給出類似定義。正如「部分」暗示的,對給定的一對指標,張量是其對稱部分和反對稱部分之和,例如
符號
反對稱可用方括號表示。例如,對任意維的2階協變張量M,
對3階協變張量T,
在任意2維和3維中,都可以寫成
其中
是廣義克羅內克δ函數,我們使用愛因斯坦求和約定對同類指標求和。
更一般地說,無論維數多少,p個指標上的反對稱都可表為
一般說來每個秩為2的張量都能分解為一對對稱張量和一對反對稱張量,如
對秩大於等於3的張量,這種分解一般並不正確,因為它們具有更複雜的對稱性。
例子
全反對稱張量包括:
- 平凡地,所有標量與向量(階為0、1的張量)是全反對稱的(也是全對稱的)。
- 電磁學中的電磁張量
。
- 偽黎曼流形上的黎曼體積形式。
另見
注釋
參考文獻
外部連結