在纽结理论中,HOMFLY多项式或HOMFLY-PT多项式是一种双变元的纽结多项式;透过变元代换,它可以涵括琼斯多项式与亚历山大多项式在三维的情形。
“HOMFLY”一名得自该多项式的发现者:Hoste、Ocneanu、Millett、Freyd、Lickorish、Yetter;“PT”二字旨在纪念另两位独立发现此结不变量的数学家 Przytycki 与 Traczyk。
拆接关系
HOMFLY多项式
由下述拆接关系唯一地定义:
![{\displaystyle P(\mathrm {unknot} )=1,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8bdd67f8adcda37e1959e081dfc0f75d7f5ea61)
![{\displaystyle \ell P(L_{+})+\ell ^{-1}P(L_{-})+mP(L_{0})=0,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f37cf74555a1ec0b1736427ec14a34eb498506e4)
其中unknot是平凡纽结;
代表结图表在某个交点附近的性状,如次图所示:
上述关系可用以递回计算任一纽结之HOMFLY多项式,亦可导出
![{\displaystyle P(L_{1}\sqcup L_{2})={\frac {-(l+l^{-1})}{m}}P(L_{1})*P(L_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c029c3a962e31976dc464d37fe971347f26ee84c)
其它拆接关系
透过适当的变元代换,上节的拆接关系可换为
![{\displaystyle \alpha P(L_{+})-\alpha ^{-1}P(L_{-})=zP(L_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1997ff80fe411f99d4ad5305b9128cab1c8b1c89)
- 或者
![{\displaystyle xP(L_{+})+yP(L_{-})+zP(L_{0})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aeecd1f63045a765515ecc7b5fb80130089c21f)
主要性质
与琼斯多项式的关系:
![{\displaystyle V(t)=P(\alpha =t,z=t^{1/2}-t^{-1/2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5544e5fccfe75690b2d6c5cc1c2a75921a3a3835)
与亚历山大多项式的关系:
![{\displaystyle \Delta (t)=P(\alpha =1,z=t^{1/2}-t^{-1/2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efd7ef160f7b77190233bb252918c3c7664caf18)
对镜像与连通和的关系:
![{\displaystyle P(L_{1}\#L_{2})=P(L_{1})P(L_{2}),\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ed7ed5470f258cdc788866dd300b9cb1c7b8415)
![{\displaystyle P_{K}(\ell ,m)=P_{\mathrm {MirrorImage(K)} }(\ell ^{-1},m)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/712b7150e96fcbadcd62dd033d4d846475070243)
陈-西蒙斯理论
SU(N)规范群的三维陈-西蒙斯理论给予HOMFLY多项式。[1]
参考文献
相关文献