HOMFLY多项式

在纽结理论中，HOMFLY多项式或HOMFLY-PT多项式是一种双变元的纽结多项式；透过变元代换，它可以涵括琼斯多项式与亚历山大多项式在三维的情形。

“HOMFLY”一名得自该多项式的发现者：Hoste、Ocneanu、Millett、Freyd、Lickorish、Yetter；“PT”二字旨在纪念另两位独立发现此结不变量的数学家 Przytycki 与 Traczyk。

拆接关系

HOMFLY多项式 $P_{K}(\ell ,m)=P(K)$ 由下述拆接关系唯一地定义：

$P(\mathrm {unknot} )=1,\,$

$\ell P(L_{+})+\ell ^{-1}P(L_{-})+mP(L_{0})=0,\,$

其中unknot是平凡纽结； $L_{+},L_{-},L_{0}$ 代表结图表在某个交点附近的性状，如次图所示：

上述关系可用以递回计算任一纽结之HOMFLY多项式，亦可导出

$P(L_{1}\sqcup L_{2})={\frac {-(l+l^{-1})}{m}}P(L_{1})*P(L_{2})$

其它拆接关系

透过适当的变元代换，上节的拆接关系可换为

$\alpha P(L_{+})-\alpha ^{-1}P(L_{-})=zP(L_{0})$

或者

$xP(L_{+})+yP(L_{-})+zP(L_{0})=0$

主要性质

与琼斯多项式的关系：

$V(t)=P(\alpha =t,z=t^{1/2}-t^{-1/2})$

与亚历山大多项式的关系：

$\Delta (t)=P(\alpha =1,z=t^{1/2}-t^{-1/2})$

对镜像与连通和的关系：

$P(L_{1}\#L_{2})=P(L_{1})P(L_{2}),\,$

$P_{K}(\ell ,m)=P_{\mathrm {MirrorImage(K)} }(\ell ^{-1},m)$

陈-西蒙斯理论

SU(N)规范群的三维陈-西蒙斯理论给予HOMFLY多项式。

相关文献

• Peter Cromwell (2004), Knots and Links, Cambridge University Press. ISBN 0-521-54831-4