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超积

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数学上,超积(英语:ultraproduct)是常见于抽象代数数理逻辑(尤其模型论集合论)的构造。超积是一族无穷多个结构直积商结构,不过要求该族结构具有相同的表征英语signature (logic)超幂(英语:ultrapower)则是超积中各因子为同一个结构的特殊情况。

举例,给定一个,可以用超幂构造出新的域。超实数域便是实数域的超幂之一。

超积有一些出奇的应用。用超积,可以写出紧致性定理完备性定理的优雅证明。开斯勒英语H. Jerome Keisler的超幂定理,从代数角度刻划了“初等等价”此种语义概念。亚伯拉罕·鲁滨逊和埃利亚斯·扎孔(Elias Zakon)用超结构及其单同态的表示来构造分析非标准模型,使非标准分析理论得以发展。鲁滨逊正是用紧致性定理开拓此分支。

定义

超积的一般定义中,先选定指标集、对应每个下标结构(具相同的表征英语Signature (logic)),以及上的超滤子。通常仅考虑无穷集,且不为主超滤子的情况,即的元素有齐的全部馀有限子集,但无任何有限子集。原因是,在主超滤子的情况下,所得的超积只会与其中一个因子同构,并无新的性质。

笛卡儿积

上的代数运算,是逐点计。例如,对于二元运算。然后,在笛氏积上,定义等价关系,使当且仅当

(应当理解为“在大多数位置相等”)。

最后,所得的超积,是模商集。所以,该超积有时记为

另一种看法是,在指标集上,定义一个有限可加的测度(弱于一般可数可加的条件),仅取二值,若则称,否则称。然后在笛氏积中,两个元素若在几乎每个下标处皆相等,则视为等同。超积是如此生成的等价类的集合。

其他关系英语relation (mathematics)同理可作引申:

其中表示所属的等价类。

特别地,若每个皆为有序域,则所得的超积亦然。

所谓超幂,意思是所有因子皆相等的超积:

也可以推广到不为超滤子,而仅为上普通一个滤子的情况。此时所得的模型称为约化积(英语:reduced product)。

例子

超实数系可数无穷多个(以自然数集编号)实数系的超积,其中所选的超滤子含有全部馀有限集。超实数系的大小次序扩展了实数之间的大小次序。例如,的序列所在的等价类,记为超实数,比任意实数都要大,因为对于任意实数除有限项外皆比大。于是,可以理解成无穷大数。

类似地,可以定义非标准整数系英语nonstandard integer非标准复数系英语nonstandard complex numbers等,为相应标准结构的超积。

又考虑以下例子,以便理解超积中关系的定义。设超实数为序列所在的等价类。由于对每个都有,在超积中,有,所以是较原先构造出的更大的无穷大数。又考虑与类似的序列,令时,,但。则虽然两个序列,但两者仅在有限个下标处不相等,故两者相等的下标集合是超滤子的元素(因为是馀有限集),从而作为等价类,有

大基数论中,有个标准构造是小心选取超滤子,然后取整个集合论全类关于的超积。此时,的性质,对于所得超积的(高阶)性质影响很大。例如,若可数完备,则相应的超积仍是良基的。该范例在可测基数 § 定义有提及。

沃希定理

沃希定理(英语:Łoś's theorem),又称超积基本定理英语fundamental theorem,由耶日·沃希英语Jerzy Łoś所证(波兰语发音:[ˈjɛʐɨ ˈwɔɕ])。定理断言,任何一条一阶逻辑式在超积中为真,当且仅当使该公式在中成立的指标的集合,是的元素。后一个条件,可以直观理解为“大多数”皆认为该公式为真。严谨叙述如下:

设有表征,指标集,其上的超滤子,且对每个,有结构。又设关于之超积,即。则对任意个多元组,其中,以及对任意公式

定理对公式复杂度归纳得证。为超滤子(而不仅是滤子)的性质,在加入否定的一步用到。而在加存在量词的一步,要用到选择公理。应用定理可得超实域转移原理英语transfer principle

实例

为结构上的一元关系,并构造的超幂。则集合在超幂中有对应的子集,而在中,对量化且为真的一阶公式,将换成后,仍在超幂中成立。例如,设实数集。设表示“为有理数”。则在中,对每对有理数,总有无理数介于两者之间。即:

既然有理数集此一性质可以写成一阶命题,沃希定理推出,超有理数集仍有同一性质,即任意两个超有理数之间,有一个不为超有理数的超实数(“超无理数”)。更一般地,超有理数集与有理数集具有完全一样的一阶性质。

然而,考虑实数的阿基米德性质,即不存在实数同时满足此列无穷多条不等式。阿基米德性质无法用一阶逻辑表示,所以,沃希定理不适用于此性质,不能推导出超实数满足阿基米德性质。正好相反,超实数不满足阿基米德性质,例如前一节构造的超实数,就比都要大。

超幂的正极限(超极限)

模型论集合论中,常考虑一列超幂的正极限英语direct limit(范畴论的馀极限)。模型论中,此构造称为超极限(英语:ultralimit)或极限超幂(英语:limiting ultrapower)。

从某结构和超滤子开始,构造出超幂,并重复,得到等。对每个,有典范对角嵌入。在极限阶段,如,取此前所有结构的正极限,如此便可取超限多次超幂。

参见

参考资料