艾普塞朗数

此条目介绍的是数学集合论中的序数。关于物理学中的 ε₀，请见“真空电容率”。

艾普塞朗数ε乃是数学集合论中一系列的超限序数，其为指数映射的某些固定点。因此，它并不能透过较小序数有限次数的加法及乘法运算而获得。康托尔原来引进的艾普塞朗数，乃以以下的方式定义:-

ε乃是一个满足以下式的序数，当中ω乃是最小的无限序数。

$\varepsilon =\omega ^{\varepsilon },\,$

满足上式的所有ε当中，最小的记为ε₀。它可以透过以下的超限递归法获得:-

$\varepsilon _{0}=\omega ^{\omega ^{\omega ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}=\sup\{\omega ,\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\omega ^{\omega ^{\omega ^{\omega }}},\dots \}$

其后如此类推，

$\varepsilon _{\alpha +1}=\sup\{\varepsilon _{\alpha }+1,\omega ^{\varepsilon _{\alpha }+1},\omega ^{\omega ^{\varepsilon _{\alpha }+1}},\dots \}=\sup\{0,1,\varepsilon _{\alpha },\varepsilon _{\alpha }^{\varepsilon _{\alpha }},\varepsilon _{\alpha }^{\varepsilon _{\alpha }^{\varepsilon _{\alpha }}},\dots \}$

更大的艾普塞朗数为$\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\ldots ,\varepsilon _{\omega },\varepsilon _{\omega +1},\ldots ,\varepsilon _{\varepsilon _{0}},\ldots ,\varepsilon _{\varepsilon _{1}},\ldots ,\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{\cdot _{\cdot _{\cdot }}}}},\ldots$。值得留意的是，ε₀的基数，仍然为可数的。实际上，所有指标为可数的ε，其基数也是可数的。不可数的ε（意指满足定义式$\varepsilon =\omega ^{\varepsilon },\,$的ε）存在，但其指标也是不可数的。

参考条目

• 巨大可数序数