种树问题
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在离散几何中,原始的果园种植问题要求的是在一个平面中过定点的3点线的可达到的最大数量。它也被称为植树造林问题,或只简称为果园问题。也可以是研究有多少k点线可以存在。Hallard T.克罗夫特和埃尔德什·帕尔证明了tk > c n2 / k3,n是点的数量并且tk是k点线的数量。[1]
他们的构造物包含了一些m-点线,其中m>k。你也可以问,如果这些是不允许的问题。
整数序列
定义t3果园(n)为过n定点可达到的3点线的最大数量。
在1974年,对于任意的正整数点n、t3果园(n)被证明是(1/6)n2 − O(n)。
第一个t3果园(n)的数值在右表中(OEIS数列A003035).
n | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
t3果园(n) | 1 | 2 | 4 | 6 | 7 | 10 | 12 | 16 | 19 | 22 | 26 |
上极限和下极限
由于没有两个直线可以共同经过两个不同点,一个平凡的3点线的数量上限由以下n点的情况确定
事实是数的2点线至少是6n/13 (Csima & Sawyer 1993),该上限可以降低到
t3果园(n)的下限由通过定点的许多的3点线的构造给出。最早的二次方程式下限-(1/8)n2由西尔维斯特给出,他在三次曲线y = x3放了n个点。这在1974年由 Burr, Grünbaum, and Sloane (1974)采用一个魏尔斯特拉斯椭圆函数基础上的结构改善至[(1/6)n2 − (1/2)n] + 1。一个Füredi & Palásti (1984)建立的圆内螺线基本的构造取得了相同的下限。
在2013年九月, Ben Green和陶哲轩发表的一篇论文中,他们证明了所有的点集必然的大小,n > n0,至多有([n(n - 3)/6] + 1) = [(1/6)n2 − (1/2)n + 1] 3点线,其中相应的下限由Burr, Grünbaum和Sloane确立。[2] 这有一个比直接从他们的紧的下限得出的2点线的数n/2要略胜一筹的极限:[n(n − 2)/6],分别由Gabriel Andrew Dirac和Theodore Motzkinproved 在相同的论文中和解决一个1951问题以独立地身份证明。
注释
- ^ The Handbook of Combinatorics, edited by László_Lovász, {葛立恒, et al, in the chapter titled Extremal Problems in Combinatorial Geometry by Paul_Erdős and George_B._Purdy.
- ^ Green & Tao (2013)
参考文献
- Brass, P.; Moser, W. O. J.; Pach, J., Research Problems in Discrete Geometry, Springer-Verlag, 2005, ISBN 0-387-23815-8.
- Burr, S. A.; Grünbaum, B.; Sloane, N. J. A., The Orchard problem, Geometriae Dedicata, 1974, 2 (4): 397–424, doi:10.1007/BF00147569.
- Csima, J.; Sawyer, E., There exist 6n/13 ordinary points, Discrete and Computational Geometry, 1993, 9: 187–202, doi:10.1007/BF02189318.
- Füredi, Z.; Palásti, I., Arrangements of lines with a large number of triangles, Proceedings of the American Mathematical Society, 1984, 92 (4): 561–566, JSTOR 2045427, doi:10.2307/2045427.
- [1]
外部链接
- ^ Green, Ben; Tao, Terence, On sets defining few ordinary lines, Discrete and Computational Geometry, 2013, 50 (2): 409–468, doi:10.1007/s00454-013-9518-9