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数列极限

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数列极限(英语:limit of a sequence)为某些数列才拥有的特殊值,当数列的下标越来越大的时候,数列的值也就越接近那个特殊值。

定义

极限的定义 — 取一复数数列 ,若有一复数 ,使得

“对于任意的正实数 ,存在自然数 ,使得任意的自然数 ,只要 ,则

正式的逻辑语言来表示即

则称数列收敛(convergent to ),并记作

如果不存在这样的复数 ,则称 发散的(divergent)。

实数数列的极限

从上面的定义可以证明,对实数数列 来说,若

则其极限 一定为实数 ,因为假设 的虚部 的话,则对极限定义取 的话,会存在 ,使得任意的 ,只要

这是矛盾的,所以根据反证法 ,即

基本性质

唯一性

定理 — 若数列 的极限存在,则极限是唯一的。[1]:29

证明

设数列 有两个不相等的极限值,则根据假设,对任意的 ,存在 ,使任意 ,只要 就有

这样根据三角不等式,对任意的 , 只要自然数 就有则

这样的话,假设 会得到

这样是矛盾的,故根据反证法 ,也就是 ,故极限唯一。

有界性

定理 — 若数列有极限,则存在正实数 ,使得对所有的自然数 都有 [1]:29-30

(即 有极限则必为有界数列)

证明

因为有极限,假设有实数 满足

这样的话,对于 ,存在自然数 ,使得任意的自然数 ,只要 ,则

从而

这样的话,令

就会有

故得证。

根据实质条件的意义,上面的定理等价于“如果一个实数数列无界,则这个实数数列一定发散。”[1]:30

注意有界数列不一定有极限,如数列 是一个有界数列,但没有极限。

但是当数列有界,存在一个递增或是递减的子数列的话,则可以证明,数列存在极限。

保序性

定理 — 有实数数列 ,若

则“ ”等价于“存在 使任何 只要 就有 ”。[1]:30

证明

左至右

,则由前提假设,存在 使任何 只要 就有

从而

这样取 ,左至右就得证。

右至左

由前提假设,对任意的 ,存在 使任何 只要 就有

从而

故得证。

,则

  1. ,则.

审敛法

其中一个判断数列是否收敛的定理,称为单调收敛定理,和实数完备性相关:单调有界数列必收敛,即是说,有上界的单调递增数列,或是有下界的单调递减数列,必然收敛。

柯西数列

参考文献列表

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 华东师范大学数学系. 数学分析 第四版 上册. 北京: 高等教育出版社. 2010年7月第4版. ISBN 978-7-04-029566-5. 

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