拉比判别法
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拉比判别法(英语:Raabe's Test)是判断一个实级数收敛的方法。在判断比几何级数收敛得慢的级数时,比柯西判别法、达朗贝尔判别法更有效。[1]
定理
对任意级数
- 如果存在 , ,使得当 时,有
- ,
- 那么级数绝对收敛。
- 如果对充分大的 ,有
- ,
- 那么级数发散。[1]
极限形式
对任意级数 ,令
证明
- 当 时,存在 使得 . 则:
- 对充分大的
因为当 时级数 收敛,故级数 在 时收敛,即级数 绝对收敛。 [4]
- 当 时,有
- ,则
- ,即
- 由于 发散,故 发散。[1]
例子
当 时无法判断其敛散性,举例如下:
- 已知有
- 令
- 已知当 时, ;当 时, ,然而由上式得
- 这说明当 时,拉比判别法无效。[5]
参考文献
- ^ 1.0 1.1 1.2 常庚哲,史济怀. 数学分析教程(下册). 安徽合肥: 中国科学技术大学出版社. 2013: 第173页. ISBN 9787312031311.
- ^ 谢惠民. 数学分析习题课讲义. 北京: 高等教育出版社. 2004: 第8页. ISBN 9787040129410.
- ^ Weisstein, Eric W. (编). Raabe's Test. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2015-09-02]. (原始内容存档于2015-04-02) (英语).
- ^ Mathumatiks :: Raabes Test and Logarithmic Test. mathumatiks.org. [2015-09-03]. (原始内容存档于2016-03-04).
- ^ Weisstein, Eric W. (编). Wolfram MathWorld (首頁). at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2015-09-02]. (原始内容存档于2015-09-05) (英语).