在几何学中,开世定理是欧几里得几何学中的一个定理,可以看做是托勒密定理的一个推广结果。开世定理得名于爱尔兰数学家约翰·开世。
叙述
![](//images.weserv.nl/?url=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fc/Casey_new1a.svg/350px-Casey_new1a.svg.png)
开世定理的背景是圆的内切圆。设有半径为
的一个圆
,圆内又有四个圆
内切于圆
(如右图)。如果将圆
的外公切线的长度设为
,那么开世定理声称,有下列等式成立。
![{\displaystyle \,t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5024b6e0098195de658efadc4e7ac4285e4ad47)
可以注意到,如果四个内切的圆都退化成点的话,就会变成圆
上的四个点,而开世定理中的等式也会化为托勒密定理。
证明
设大圆的圆心是点
;四个圆的圆心分别是点
,半径分别是
。每个圆与大圆
的切点分别是
。
首先,根据勾股定理可以推出:对于任意的i 和j,都有
![{\displaystyle \,t_{ij}^{2}={\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}-(R_{i}-R_{j})^{2}\qquad \qquad \qquad \cdots \,\,(1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53bbf62b99dfbc43b1825e3de58ba906fa09610a)
接下来的思路是将这个公式右边的各个长度用
来表示。
考虑三角形
,根据三角形的余弦定理:
![{\displaystyle {\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}={\overline {OO_{i}}}^{2}+{\overline {OO_{j}}}^{2}-2{\overline {OO_{i}}}\cdot {\overline {OO_{j}}}\cdot \cos \angle O_{i}OO_{j}\qquad \qquad \qquad \cdots \,\,(2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30d1c2f4c119212a96d8b2d07751690736041813)
由于每个圆
都和大圆相切,所以:
![{\displaystyle {\overline {OO_{i}}}=R-R_{i},\,\angle O_{i}OO_{j}=\angle K_{i}OK_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7b1492f583946b7ef8a3eebb2eae63df84c6174)
设点
为大圆
上的任意一点,根据三角形的正弦定理,在三角形
之中,有:
![{\displaystyle {\overline {K_{i}K_{j}}}=2R\cdot \sin \angle K_{i}CK_{j}=2R\cdot \sin {\frac {\angle K_{i}OK_{j}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2275143c1f86c096077618492415fc344c2491f)
所以,余弦式
![{\displaystyle \cos \angle K_{i}OK_{j}=1-2\sin ^{2}{\frac {\angle K_{i}OK_{j}}{2}}=1-2\cdot \left({\frac {\overline {K_{i}K_{j}}}{2R}}\right)^{2}=1-{\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{2R^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12d5317a32456e3a319db7d9a62e273d5f84c98b)
将以上
与
代入式子
中,就可以得到:
![{\displaystyle {\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}=(R-R_{i})^{2}+(R-R_{j})^{2}-2(R-R_{i})(R-R_{j})\left(1-{\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{2R^{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ed78d2b3ba3367b69e8ba0ea0e01ae67684e675)
![{\displaystyle =(R-R_{i})^{2}+(R-R_{j})^{2}-2(R-R_{i})(R-R_{j})+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{R^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d5acac46a86d4dd5e1af467ec7a4f0dc799d44b)
![{\displaystyle =((R-R_{i})-(R-R_{j}))^{2}+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{R^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd8ac3d2fdd47f737aee02543dd959a659916090)
![{\displaystyle =(R_{i}-R_{j})^{2}+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{R^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3829e23b349360949ad99e0bf3bdc6d60598a667)
再代入式子
中,就得到
的表达式:
![{\displaystyle t_{ij}={\sqrt {{\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}-(R_{i}-R_{j})^{2}}}={\frac {{\sqrt {R-R_{i}}}\cdot {\sqrt {R-R_{j}}}\cdot {\overline {K_{i}K_{j}}}}{R}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39003d7b58b6f00776e23ebbc10935ec3b08d684)
以上等式对所有的i 和j 都成立,因此只要注意到四边形
是圆内接四边形,那么对其应用应用托勒密定理就可以得到开世定理:
![{\displaystyle t_{12}t_{34}+t_{14}t_{23}={\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R_{1}}}{\sqrt {R-R_{2}}}{\sqrt {R-R_{3}}}{\sqrt {R-R_{4}}}\left({\overline {K_{1}K_{2}}}\cdot {\overline {K_{3}K_{4}}}+{\overline {K_{1}K_{4}}}\cdot {\overline {K_{2}K_{3}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d94c9293693db9bc875fa1ecc0f59081497a810b)
![{\displaystyle ={\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R_{1}}}{\sqrt {R-R_{2}}}{\sqrt {R-R_{3}}}{\sqrt {R-R_{4}}}\left({\overline {K_{1}K_{3}}}\cdot {\overline {K_{2}K_{4}}}\right)=t_{13}t_{24}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4dd8276c3e13d7d5fa1ec5eeef5a10932c24eac)
证明完毕。
推广
可以用类似的方法证明,只要当圆
与大圆
相切(不论是外切还是内切),就会有类似开世定理的等式成立。这是需要注明,对任意的i 和j:
- 如果圆
是与大圆
以同样的方式相切(都是外切或者都是内切)的话,则
表示两个圆的外公切线的长度;
- 如果圆
是与大圆
以不同的方式相切(一个是外切而另一个是内切)的话,则
表示两个圆的内公切线的长度。
另一个特点是:这定理的逆定理也成立。也就是说,如果开世定理的等式成立,那么这些圆必定以规定的方式与大圆相切。[1]
应用
在欧几里得几何学中,开世定理可以用来证明多种不同的结论。比如说费尔巴哈定理的一个简洁证明中就用到了它。
注释
- ^ Roger A. Johnson. Advanced Euclidean Geometry, p.123-125
参考书籍
外部链接