在幾何學中,開世定理是歐幾里得幾何學中的一個定理,可以看做是托勒密定理的一個推廣結果。開世定理得名於愛爾蘭數學家約翰·開世。
敘述
![](//images.weserv.nl/?url=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fc/Casey_new1a.svg/350px-Casey_new1a.svg.png)
開世定理的背景是圓的內切圓。設有半徑為
的一個圓
,圓內又有四個圓
內切於圓
(如右圖)。如果將圓
的外公切線的長度設為
,那麼開世定理聲稱,有下列等式成立。
![{\displaystyle \,t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5024b6e0098195de658efadc4e7ac4285e4ad47)
可以注意到,如果四個內切的圓都退化成點的話,就會變成圓
上的四個點,而開世定理中的等式也會化為托勒密定理。
證明
設大圓的圓心是點
;四個圓的圓心分別是點
,半徑分別是
。每個圓與大圓
的切點分別是
。
首先,根據勾股定理可以推出:對於任意的i 和j,都有
![{\displaystyle \,t_{ij}^{2}={\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}-(R_{i}-R_{j})^{2}\qquad \qquad \qquad \cdots \,\,(1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53bbf62b99dfbc43b1825e3de58ba906fa09610a)
接下來的思路是將這個公式右邊的各個長度用
來表示。
考慮三角形
,根據三角形的餘弦定理:
![{\displaystyle {\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}={\overline {OO_{i}}}^{2}+{\overline {OO_{j}}}^{2}-2{\overline {OO_{i}}}\cdot {\overline {OO_{j}}}\cdot \cos \angle O_{i}OO_{j}\qquad \qquad \qquad \cdots \,\,(2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30d1c2f4c119212a96d8b2d07751690736041813)
由於每個圓
都和大圓相切,所以:
![{\displaystyle {\overline {OO_{i}}}=R-R_{i},\,\angle O_{i}OO_{j}=\angle K_{i}OK_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7b1492f583946b7ef8a3eebb2eae63df84c6174)
設點
為大圓
上的任意一點,根據三角形的正弦定理,在三角形
之中,有:
![{\displaystyle {\overline {K_{i}K_{j}}}=2R\cdot \sin \angle K_{i}CK_{j}=2R\cdot \sin {\frac {\angle K_{i}OK_{j}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2275143c1f86c096077618492415fc344c2491f)
所以,餘弦式
![{\displaystyle \cos \angle K_{i}OK_{j}=1-2\sin ^{2}{\frac {\angle K_{i}OK_{j}}{2}}=1-2\cdot \left({\frac {\overline {K_{i}K_{j}}}{2R}}\right)^{2}=1-{\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{2R^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12d5317a32456e3a319db7d9a62e273d5f84c98b)
將以上
與
代入式子
中,就可以得到:
![{\displaystyle {\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}=(R-R_{i})^{2}+(R-R_{j})^{2}-2(R-R_{i})(R-R_{j})\left(1-{\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{2R^{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ed78d2b3ba3367b69e8ba0ea0e01ae67684e675)
![{\displaystyle =(R-R_{i})^{2}+(R-R_{j})^{2}-2(R-R_{i})(R-R_{j})+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{R^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d5acac46a86d4dd5e1af467ec7a4f0dc799d44b)
![{\displaystyle =((R-R_{i})-(R-R_{j}))^{2}+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{R^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd8ac3d2fdd47f737aee02543dd959a659916090)
![{\displaystyle =(R_{i}-R_{j})^{2}+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{R^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3829e23b349360949ad99e0bf3bdc6d60598a667)
再代入式子
中,就得到
的表達式:
![{\displaystyle t_{ij}={\sqrt {{\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}-(R_{i}-R_{j})^{2}}}={\frac {{\sqrt {R-R_{i}}}\cdot {\sqrt {R-R_{j}}}\cdot {\overline {K_{i}K_{j}}}}{R}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39003d7b58b6f00776e23ebbc10935ec3b08d684)
以上等式對所有的i 和j 都成立,因此只要注意到四邊形
是圓內接四邊形,那麼對其應用應用托勒密定理就可以得到開世定理:
![{\displaystyle t_{12}t_{34}+t_{14}t_{23}={\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R_{1}}}{\sqrt {R-R_{2}}}{\sqrt {R-R_{3}}}{\sqrt {R-R_{4}}}\left({\overline {K_{1}K_{2}}}\cdot {\overline {K_{3}K_{4}}}+{\overline {K_{1}K_{4}}}\cdot {\overline {K_{2}K_{3}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d94c9293693db9bc875fa1ecc0f59081497a810b)
![{\displaystyle ={\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R_{1}}}{\sqrt {R-R_{2}}}{\sqrt {R-R_{3}}}{\sqrt {R-R_{4}}}\left({\overline {K_{1}K_{3}}}\cdot {\overline {K_{2}K_{4}}}\right)=t_{13}t_{24}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4dd8276c3e13d7d5fa1ec5eeef5a10932c24eac)
證明完畢。
推廣
可以用類似的方法證明,只要當圓
與大圓
相切(不論是外切還是內切),就會有類似開世定理的等式成立。這是需要註明,對任意的i 和j:
- 如果圓
是與大圓
以同樣的方式相切(都是外切或者都是內切)的話,則
表示兩個圓的外公切線的長度;
- 如果圓
是與大圓
以不同的方式相切(一個是外切而另一個是內切)的話,則
表示兩個圓的內公切線的長度。
另一個特點是:這定理的逆定理也成立。也就是說,如果開世定理的等式成立,那麼這些圓必定以規定的方式與大圓相切。[1]
應用
在歐幾里得幾何學中,開世定理可以用來證明多種不同的結論。比如說費爾巴哈定理的一個簡潔證明中就用到了它。
註釋
- ^ Roger A. Johnson. Advanced Euclidean Geometry, p.123-125
參考書籍
外部連結