“Black-Scholes Model”的各地常用译名 |
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中国大陆 | 布莱克-舒尔斯模型 |
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台湾 | 布莱克-休斯模型 |
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布莱克-舒尔斯模型(英语:Black-Scholes Model),简称BS模型,是一种为衍生性金融商品中的选择权定价的数学模型,由美国经济学家麦伦·休斯与费雪·布莱克首先提出。此模型适用于没有派发股利的欧式选择权。罗伯特·C·墨顿其后修改了数学模型,使其于有派发股利时亦可使用,新模型被称为布莱克-休斯-墨顿模型(英语:Black–Scholes–Merton model)。
此模型的应用是透过买卖价格过高或是过低的选择权,并同时与持有的资产对冲,来消除可能潜在的风险,并因此而套利。此方法也被称为“动态 Delta中性”。此公式问世后带来了选择权市场的繁荣,并且也是在投资银行与对冲基金中被广为使用的基础模型。
虽然在很多情况下被使用者进行一定的改动和修正。很多经验测试表明这个公式足够贴近市场价格,然而也有会出现差异的时候,如著名的“波动率的微笑”。然而它假设价格的变动,会符合常态分配(即俗称的钟形曲线),但在金融市场上经常出现符合统计学厚尾现象的事件,这影响此公式的有效性。
1997年,麦伦·休斯和罗伯特·C·墨顿借该模型获得诺贝尔经济学奖。费雪·布莱克不幸在1995年离世,因此未能获奖。
重要假设
BS模型假设金融市场存在最少一种风险资产(如股票)及一种无风险资产(现金或债券)。
假设金融资产是:
假设金融市场是:
- 不存在套利机会
- 能以无风险利率借出或借入任意数量的金钱
- 能买入及卖出(沽空)任意数量的股票
- 市场无摩擦,即不存在交易税收和交易成本
此外,假设选择权是欧式选择权,即只可在特定日期行权。
数学模型
符号
- V(S,t):欧式期权的理论价格
- C(S,t):认购期权的价格
- P(S,t):认沽期权的价格
- ln():自然对数
- K:交割价格
- S:即期价格(Spot)
- τ:有效期
- T:到期日
- t:时间,以年为单位,例如0.5代表6个月
![{\displaystyle \tau =T-t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/864756665025e42dee4915d35cfc8867c875cb14)
- r:连续复利计无风险利率
:年度化方差
- N():常态分布变量的累积分布函数
![{\displaystyle N(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-z^{2}/2}\,dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/364ea95db528d8dbd31a74d54e2c5b18b46205e8)
布莱克-休斯方程
对于有效期内不派发红利的欧式选择权,其价格遵从以下偏微分方程:
![{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d85601f6192ee85748c2deef28240275510d634e)
把方程重写成左右两边:
![{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}=rV-rS{\frac {\partial V}{\partial S}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f41ea54b8433341a8f2d45ea5e2bc7726c780a6)
左方代表期权的时间值及与即期价格的凸性。右方代表期权长仓的无风险回报及
股相关资产短仓。
求解过程会转换成为一个热传导方程式。
公式
利用以下约束条件,可解认购期权(Call Option)的理论值。
![{\displaystyle {\begin{aligned}C(0,t)&=0{\text{ for all }}t\\C(S,t)&\rightarrow S{\text{ as }}S\rightarrow \infty \\C(S,T)&=\max\{S-K,0\}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/809ab3222285a7c96a62588241ded63ddfac051f)
认购期权的理论价格是:
![{\displaystyle \displaystyle C(S,t)=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r\tau }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f8539e8776d64be9534ea3a5dbf530a3b4cc6e8)
其中:
![{\displaystyle d_{1}={\begin{smallmatrix}\displaystyle {\frac {\ln \displaystyle {\frac {S}{K}}+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right){\tau }}{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\end{smallmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe8897a1e41d88ddc3c09660bae5ecfe3a904f50)
![{\displaystyle d_{2}={\begin{smallmatrix}\displaystyle d_{1}-\sigma {\sqrt {\tau }}\end{smallmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beb728c3ab90a46afe2acd382690a98bb5f18fa9)
利用相同的方法,也可解认沽期权的理论价格:
![{\displaystyle \displaystyle P(S,t)=N(-d_{2})Ke^{-r\tau }-N(-d_{1})S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d1a2f5b90c5b7d13822fbd7e214a9b86fbe0313)
认购期权及认沽期权的理论价格都包含
,把交割价格K以连续复利折算为现值。
![{\displaystyle \displaystyle PV(K,t)=Ke^{-r\tau }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/368e5e80110368536d82bd8324cdfe2f8fca8fe9)
派发股利的选择权定价模型
布莱克-舒尔斯模型假定在期权有效期内标的股票不派发股利。若派发股利需改用布莱克-休斯-墨顿模型,其公式如下:
其中:
![{\displaystyle d_{1}={\begin{smallmatrix}\displaystyle {\frac {\ln \displaystyle {\frac {S}{L}}+\left(r-k+0.5\times \sigma ^{2}\right)\times {T}}{\sigma \times {\sqrt {T}}}}\end{smallmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9866a1cfbf97e928fd50a8c6064f68aea60f531d)
![{\displaystyle d_{2}={\begin{smallmatrix}\displaystyle d_{1}-\sigma \times {\sqrt {T}}\end{smallmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7ee6ba36e7992a8e4a8ad6d74deb70db5dbd919)
- k:表示标的股票的年股利收益率(假设股利连续支付,而不是离散分期支付)
- Ln:自然对数;
- C:期权初始合理价格;
- L:期权交割价格;
- S:交易所金融资产现价;
- T:期权有效期;
- r:连续复利计无风险利率H;
:年度化方差;
- N():常态分布变量的累积分布函数。
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