卡方分布
概率密度函数 ![](//images.weserv.nl/?url=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/21/Chi-square_distributionPDF.png/325px-Chi-square_distributionPDF.png) |
累积分布函数 ![](//images.weserv.nl/?url=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cb/Chi-square_distributionCDF.png/325px-Chi-square_distributionCDF.png) |
参数 |
自由度 |
---|
值域 |
, |
---|
概率密度函数 |
![{\displaystyle {\frac {1}{2^{\frac {k}{2}}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\;x^{{\frac {k}{2}}-1}e^{-{\frac {x}{2}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/846f8111d6b4bae031edd73522f5a55437e5bb2c) |
---|
累积分布函数 |
![{\displaystyle {\frac {1}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\;\gamma \left({\frac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29be6d36250f57f007ebff550b9b49a7f412f94d) |
---|
期望值 |
![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40) |
---|
中位数 |
![{\displaystyle \approx k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg )}^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0d9d3cbb5fdbb1ad7c4642e6bca9cac449b553a) |
---|
众数 |
max{ k − 2, 0 } |
---|
方差 |
![{\displaystyle 2k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab358eb7defb4d2b0fc1f9e8a4e2d189fe600eb6) |
---|
偏度 |
![{\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {8/k}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b153b226deb8255bbe12704015a73bb6610aa187) |
---|
峰度 |
![{\displaystyle 12/k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a69c8e818cdc83079cc238bc28c4c04675d087d4) |
---|
熵 |
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {k}{2}}&+\ln(2\Gamma (k/2))\\&\!+(1-k/2)\psi (k/2)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c8a0590a94767ed01049fd2a9f9b65192999829) |
---|
矩生成函数 |
,![{\displaystyle 2\,t<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bcf126ab3972e8f5e00b957964923f812738ef2) |
---|
特征函数 |
[1] |
---|
卡方分布(英语:chi-square distribution[2], χ²-distribution,或写作χ²分布)是概率论与统计学中常用的一种概率分布。k个独立的标准正态分布变量的平方和服从自由度为k的卡方分布。卡方分布是一种特殊的伽玛分布,是统计推论中应用最为广泛的概率分布之一,例如假说检定和置信区间的计算。
由卡方分布延伸出来皮尔森卡方检定常用于:
- 样本某性质的比例分布与母体理论分布的拟合优度(例如某行政机关男女比是否符合该机关所在城镇的男女比);
- 同一母体的两个随机变量是否独立(例如人的身高与交通违规的关联性);
- 二或多个母体同一属性的同质性检定(义大利面店和寿司店的营业额有没有差距)。(详见皮尔森卡方检定)
数学定义
若k个随机变量
、……、
是相互独立且符合标准正态分布的随机变量(数学期望为0、方差为1),则随机变量Z的平方和
![{\displaystyle X=\sum _{i=1}^{k}Z_{i}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5248fb0830a7e66ab3075b6a694d962b1468b5f7)
被称为服从自由度为 k 的卡方分布,记作
![{\displaystyle X\ \sim \ \chi ^{2}(k)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7674f8f53c0f1a36bf753fba2ae52fe8160d9f5c)
![{\displaystyle \ X\ \sim \ \chi _{k}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d984cc4b04e09948ab6334deb9d2f54050bc64b)
性质
可以在文章右上角的表中看到更多卡方分布的性质。
概率密度函数
卡方分布的概率密度函数为:
![{\displaystyle f_{k}(x)={\frac {1}{2^{\frac {k}{2}}\Gamma ({\frac {k}{2}})}}x^{{\frac {k}{2}}-1}e^{\frac {-x}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1cf7ec6e88df8a9501490e85e76040fd2a51dda)
其中
,当
时
。这里Γ代表Gamma函数。
累积分布函数
卡方分布的累积分布函数为:
,
其中γ(k,z)为不完全Γ函数
在大多数涉及卡方分布的书中都会提供它的累积分布函数的对照表。此外许多表格计算软件如OpenOffice.org Calc和Microsoft Excel中都包括卡方分布函数。
自由度为k的卡方变量的平均值是k,方差是2k。
卡方分布是伽玛分布的一个特例,它的熵为:
![{\displaystyle H=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ln(f(x))dx={\frac {k}{2}}+\ln \left(2\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)\right)+\left(1-{\frac {k}{2}}\right)\psi (k/2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7b00a2611c938a63f179db608405c7adfe073f3)
其中
是双伽玛函数。
卡方变数与Gamma变数的关系
当Gamma变数 频率(λ)为1/2时,α的2倍为卡方变数之自由度。
即:
![{\displaystyle r.v.Y=\chi ^{2}\left(U\right)=\Gamma \left(\alpha ={\frac {U}{2}},\lambda ={\frac {1}{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a7675e7364edf25e2584e5541e7823b5830f9f2)
![{\displaystyle \operatorname {E} \left(\chi ^{2}\left(U\right)\right)=\operatorname {E} \left(Y\right)={\frac {\alpha }{\lambda }}={\frac {\frac {U}{2}}{\frac {1}{2}}}=U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6658b3b9cb61817574167b9cd8fe8b9562c66619)
![{\displaystyle \operatorname {Var} \left(\chi ^{2}\left(U\right)\right)=\operatorname {Var} \left(Y\right)={\frac {\alpha }{\lambda ^{2}}}={\frac {\frac {U}{2}}{\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}}}=2U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14098510d186dfd4794737ff5d68ba373d303b18)
卡方变数之期望值=自由度
卡方变数之方差=两倍自由度
可加性
由定义可得,独立卡方变量之和同样服从卡方分布。特别地,若
分别独立服从自由度为
的卡方分布,那么它们的和
服从自由度为
的卡方分布。
偏差的平方和
若k个随机变量
、……、
是相互独立,符合标准正态分布的随机变量,则它们与均值之间偏差的平方和
其中均值
它的平方正比于自由度为1的卡方分布,即
卡方分布表
p-value = 1- p_CDF.
χ2越大,p-value越小,则可信度越高。通常用p=0.05作为阈值,即95%的可信度。
常用的χ2与p-value表如下:
自由度k \ P value (概率)
|
0.95
|
0.90
|
0.80
|
0.70
|
0.50
|
0.30
|
0.20
|
0.10
|
0.05
|
0.01
|
0.001
|
1
|
0.004
|
0.02
|
0.06
|
0.15
|
0.46
|
1.07
|
1.64
|
2.71
|
3.84
|
6.64
|
10.83
|
2
|
0.10
|
0.21
|
0.45
|
0.71
|
1.39
|
2.41
|
3.22
|
4.60
|
5.99
|
9.21
|
13.82
|
3
|
0.35
|
0.58
|
1.01
|
1.42
|
2.37
|
3.66
|
4.64
|
6.25
|
7.82
|
11.34
|
16.27
|
4
|
0.71
|
1.06
|
1.65
|
2.20
|
3.36
|
4.88
|
5.99
|
7.78
|
9.49
|
13.28
|
18.47
|
5
|
1.14
|
1.61
|
2.34
|
3.00
|
4.35
|
6.06
|
7.29
|
9.24
|
11.07
|
15.09
|
20.52
|
6
|
1.63
|
2.20
|
3.07
|
3.83
|
5.35
|
7.23
|
8.56
|
10.64
|
12.59
|
16.81
|
22.46
|
7
|
2.17
|
2.83
|
3.82
|
4.67
|
6.35
|
8.38
|
9.80
|
12.02
|
14.07
|
18.48
|
24.32
|
8
|
2.73
|
3.49
|
4.59
|
5.53
|
7.34
|
9.52
|
11.03
|
13.36
|
15.51
|
20.09
|
26.12
|
9
|
3.32
|
4.17
|
5.38
|
6.39
|
8.34
|
10.66
|
12.24
|
14.68
|
16.92
|
21.67
|
27.88
|
10
|
3.94
|
4.86
|
6.18
|
7.27
|
9.34
|
11.78
|
13.44
|
15.99
|
18.31
|
23.21
|
29.59
|
参考文献
外部链接