三维点群

几何学中，三维点群是三维空间中，任何一个固定原点的对称群。等价的说法是，其为球面的对称群。此类群皆为正交群$O(3)$的子群，即固定原点的全体等距同构组成的群，亦可视为全体正交矩阵的乘法群。$O(3)$本身则是全体等距同构的欧氏群$E(3)$的子群。

立体的对称群必由等距同构组成，反之，要分析等距对称构成的群，就是分析所有可能的对称。有界三维立体的全体等距同构，必存在共同的不动点，不妨设其中之一为原点。

立体的对称群，有时称为全体对称群作强调，用以突显与旋转群（或真对称群）的分别。立体的旋转群是其全体对称群与三维空间本身的旋转群$SO(3)$之交。立体的旋转群等于全体对称群，当且仅当立体具手性。

三维点群在化学广泛用于描述分子的对称，及组成共价键的分子轨域的对称。此背景下，也称分子对称群。

有限考克斯特群是一族特殊的点群，仅由过原点的若干个镜射生成。$n$阶考克斯特群是由$n$个镜射生成，可以考克斯特－丹金图表示。考克斯特符号则改为用方括号和数字描述，并设有其他标记，用以表示旋转群或其他子群。

群结构

$SO(3)$是直接欧氏群$E^{+}(3)$的子群，其元素皆是直接等距同构，即保持定向的等距变换。$SO(3)$仅含保持原点不变的直接等距同构。

$O(3)$则是$SO(3)$与点反演生成的群$\{I,-I\}$的直积：（此处点反演以其矩阵$-I$表示，即单位矩阵$I$乘上$-1$。）

$O(3)=SO(3)\times \{I,-I\}.$

所以，三维空间中，藉点反演，可以得到直接与间接等距变换之间的一一对应，此外，$O(3)$中仅由直接等距变换组成的子群$H$（必包含在$SO(3)$中，亦与$O(3)$中含有点反演的子群$K$一一对应。对应关系如下：

$K=H\times \{I,-I\},$

$H=K\cap SO(3).$

例如，若$H$为$C_{2}$，则$K$为$C_{\mathrm {2h} }$；若$H$为$C_{3}$，则$K$为$S_{6}$。（定义载于下文。）

若直接等距同构群$H$有指数为$2$的子群$L$，则除以上含点反演的子群外，还有另一个对应的子群

$M=L\cup \left((H\setminus L)\times \{-I\}\right),$

含有间接等距变换，但不含点反演。式中$(A,I)$与$A$视为等同。举例$H$为$C_{4}$，而$M$为$S_{4}$。

换言之，$M$是将$H\setminus L$中的变换，乘上$-I$得到。此群$M$作为抽象群与$H$同构。反之，任意对称群，若有间接等距变换，但无点反演，则可以将所有间接变换反演，而变成旋转群。等距群的分类（见下文）中，可以用此性质化简问题。

二维情况下，$k$重旋转的循环群$C_{k}$皆是$O(2)$和$SO(2)$的正规子群。在三维中，固定旋转轴，则相应有绕该轴的$k$重循环群$C_{k}$，是绕该轴的全体旋转群的正规子群。此外，由于指数为$2$的子群必正规，$C_{n}$在$C_{n\mathrm {v} }$中正规，也在$C_{n\mathrm {h} }$中正规。此处$C_{n\mathrm {v} }$是向$C_{n}$添加过旋转轴的反射面生成，而$C_{n\mathrm {h} }$则是向$C_{n}$添加与轴垂直的反射面生成。

固定原点的三维等距变换

$\mathrm {R} ^{3}$的等距变换中，固定原点的变换，组成正交群$O(3,\mathbb {R} )$，简记为$O(3)$。其元素分类如下：

• 子群$SO(3)$中：
  • 单位（恒等变换）；
  • 绕过原点某轴的旋转，且角度不为$180^{\circ }$；
  • 绕过原点某轴的旋转，且角度为$180^{\circ }$；
• 及以上变换但额外乘上点反演（将向量$x$映去$-x$），即：
  • 点反演；
  • 绕过原点的某轴，作角度不为$180^{\circ }$的旋转，后再作一次镜射，镜射面过原点，且与旋转轴垂直；
  • 关于过原点某平面的镜射。

后三种元素又称瑕旋转。（视乎定义，末一种未必算。）

连同平移变换的简介，见欧几里得群。

共轭

比较两件立体的对称类时，原点可以分别选取，即两件立体的中心不必相同。更甚者，两件立体具有相同对称类，意思是其对称群$H_{1},H_{2}$在$O(3)$中为共轭子群，即存在$g\in O(3)$，使$H_{1}=g^{-1}H_{2}g$。

举例：

• 两件立体各仅有镜射对称，即使并非关于同一镜面，仍属同样的对称类；
• 同样，若各仅有三重旋转对称，即使轴向不同，仍属同样的对称类。

若立体的对称群有多条旋转轴或多个镜面，或两者皆有，则两个对称群同属一类，当且仅当有另一个旋转$g$，将前一个对称群的整个结构，变换成后一个对称群。（此种旋转会多于一个，但不会是无穷多个。仅有一条旋转轴或一个镜面时，此种旋转方会有无穷多个。）按定义，上文的$g$不必为旋转，也可以为镜射，然而，由于对称群的结构不具手性，祇需取$g$为旋转。（但空间群则不然，有$11$对空间群具有手性，因为有螺旋变换。）

无穷等距变换群

有许多无穷等距变换群，如绕任意轴转任意无理角度（即圈数或度数为无理数，或弧度数为$\pi$的无理数倍）的旋转，所生成的无穷循环群；若加入绕同一轴的其他旋转，还可以组成许多非循环的交换群。取不共轴的旋转，则生成非交换群。一般而言，此等非交换群皆为自由群。仅有特别选取的旋转，方能得到有限群，否则一般皆是无穷群。

作为拓扑群$O(3)$的子群，上述无穷子群皆非闭子群。以下讨论$O(3)$的拓扑闭子群：

无标记特定点的球面，对称群为$O(3)$。

• 整个$O(3)$是球对称群、
• 相应的旋转群是$SO(3)$、
• 其他无穷等距变换群有五个，皆含有过原点的某轴，绕该轴的所有旋转，另外可以：
  • 添加或不添加过轴的各镜面反射，
  • 另添加或不添加过原点与轴垂直的镜面反射。（共四个）
  • 最后，若以上两种反射都无添加，则可以只添加两者的复合，相当于添加与原旋转轴垂直的轴上的$180^{\circ }$旋转。（一个）

添加过轴的各镜面反射的群，不论有否添加过原点与轴垂射的镜面反射，称为两种圆柱对称性。注意若物理实体有无穷旋转对称，则亦必关于过轴的镜面对称。

此七个连续群，称为极限点群或居里极限群，得名自最早研究此种群的皮埃尔·居里。轴向群可以分成七列无穷序列，其极限给出五个轴向极限群（有两个重复），而$O(3)$、$SO(3)$则不是轴向群的极限。国际记号中，此七个群记为$\infty ,\ \infty 2,\ \infty /\mathrm {m} ,\ \infty \mathrm {mm} ,\ \infty /\mathrm {mm} ,\ \infty \infty ,\ \infty \infty \mathrm {m}$，次序在下文明确给出。

有限等距变换群

三维空间的对称中，保持原点不动，等价于保持以原点为球心的球面。关于有限的三维点群，亦可参见球面有限对称群列表。

不别共轭之异，三维有限点群只有：

• $7$个无穷列，此七类群中，每个群至多一条旋转轴有多于两重旋转。该些群皆是圆柱面的对称群（的有限子群），其中圆柱面有限长或无限长是等价的，有时称为轴向点群（英语：axial point groups）或棱柱点群（英语：prismatic point groups）。
• $7$个其他点群，每个有至少两条至少三重的旋转轴；也可以等价写成有至少两条三重旋转轴，因为全部七个都有多条三重旋转轴。若数出其三重以上的旋转轴，所有可能组合有：
  • $4$条三重轴、
  • $4$条三重轴及$3$条四重轴、
  • $10$条三重轴及$6$条五重轴。

根据晶体学限制定理，仅得很少点群与离散平移对称相容：七列轴向点群中，有$27$个；七个其他点群中，有$5$个，合共$32$个，称为晶体学点群。

七类轴向点群

有七列轴向点群。每列有无穷多个群，各可用正整数$n$标示。每列第$n$个群，含绕某轴的$n$重旋转，即旋转$360^{\circ }/n$，故$n=1$对应转一整圈，即不旋转。七列轴向点群中，四列无其他旋转轴（称循环对称），另三列有其他二重旋转轴（称二面对称）。该些群可以视为二维点群添加轴向坐标和关于轴的反射而成，也与带群相关。 可以将轴向点群理解为带群的图案在绕柱面恰好重复$n$次。

下表列出点群的几种记号：晶体学的赫尔曼–莫甘记号、分子对称性的熊夫利记号、轨形记号、考克斯特记号。后三者不仅方便读出群的性质，还与群的阶数密切相关。轨形记号同时通用于墙纸群与带群。晶体群的$n$仅能取$1,2,3,4,6$（晶体学限制定理），而若移除该限制，则$n$可取任意正整数。七列轴向点群为：

赫－莫		熊夫利	轨形	考克斯特	带群	抽象结构 （群阶）	例子	备注
$n$偶	$n$奇				（圆柱）
$n$		$C_{n}$	$nn$	$[n]^{+}$	p1	循环群$Z_{n}$ （$n$）		$n$重旋转对称
${\overline {2n}}$	${\overline {n}}$	$S_{2n}$	$n\times$	$[2n^{+},2^{+}]$	p11g	$Z_{2n}$ （$2n$）		$n$重旋转反射对称 勿与$2n$次抽象对称群混淆
$n/\mathrm {m}$	${\overline {2n}}$	$C_{n\mathrm {h} }$	$n^{*}$	$[n^{+},2]$	p11m	$Z_{n}\times Z_{2}$ （$2n$）
$n\mathrm {mm}$	$n\mathrm {m}$	$C_{n\mathrm {v} }$	${}^{*}nn$	$[n]$	p1m1	二面体群$\mathrm {Dih} _{n}$ （$2n$）		棱锥对称 生物学又称双辐射状对称
$n22$	$n2$	$D_{n}$	$22n$	$[n,2]^{+}$	p211	$\mathrm {Dih} _{n}$ （$2n$）		二面体对称
${\overline {2n}}2\mathrm {m}$	${\overline {n}}\mathrm {m}$	$D_{n\mathrm {d} }$	$2^{*}n$	$[2n,2^{+}]$	p2mg	$\mathrm {Dih} _{2n}$ （$4n$）		反棱柱对称
$n/\mathrm {mmm}$	${\overline {2n}}2\mathrm {m}$	$D_{n\mathrm {h} }$	${}^{*}22n$	$[n,2]$	p2mm	$\mathrm {Dih} _{n}\times Z_{2}$ （$4n$）		棱柱对称

对奇数$n$，有抽象群同构$Z_{2n}\cong Z_{n}\times Z_{2}$及$\mathrm {Dih} _{2n}\cong \mathrm {Dih} _{n}\times Z_{2}$。

群$C_{n}$（包括平凡群$C_{1}$）及$D_{n}$有手性，其他则无手性。

术语水平（horizontal, h）与竖直（vertical, v）描述反射面的方向，以旋转轴为竖直，故反射面水平即垂直于与旋转轴，反射面竖直即包含为旋转轴。相应下标用字母h和v。

最简单的非平凡轴向群皆同构于抽象群$Z_{2}$，但是$O(3)$的不同子群（即不共轭）：

• $C_{\mathrm {i} }$（等同$S_{2}$）——点反演对称
• $C_{2}$——二重旋转对称
• $C_{\mathrm {s} }$（等同$C_{1\mathrm {h} }$和$C_{1\mathrm {v} }$）——反射对称，生物学又称两侧对称（英语：bilateral symmetry）。

七条圆柱形带上，印有不同图样，使各自的对称群等于七列轴向群中，取$n=6$的情况。

第一组单轴循环群中，$C_{n}$的阶为$n$（二维情况同样适用），是由单一个角度为$360^{\circ }/n$的旋转生成。若向此群加入一个与轴垂直的镜面（的反射），则生成$C_{n\mathrm {h} }$，阶为$2n$。若不加入与轴垂直的镜面，但加入$n$块通过轴的镜面，则得到$C_{n\mathrm {v} }$，阶亦为$2n$。后者是正$n$棱锥的对称群。具$C_{n}$或$D_{n}$的典型物体是螺旋桨。

若上述两种镜面皆加入，则水平镜面与竖直镜面相交得到$n$条轴，而镜射的复合生成绕该些轴的$180^{\circ }$旋转，故群不再单轴。新群的阶为$4n$，记为$D_{n\mathrm {h} }$。其旋转子群为$2n$个元素的二面体群$D_{n}$，仍有与主（$n$重）旋转轴垂直的二重旋转轴，但不再有镜面。

注意，在二维，$D_{n}$包括镜射，但镜射也可以视为将不辨前后之别的扁平物体翻转得到。但在三维，镜射与翻转不再相同：群$D_{n}$有翻转但无镜射。

馀下一类是$D_{n\mathrm {d} }$（或$D_{n\mathrm {v} }$），其有包含主旋转轴的竖直镜面，但没有水平镜面，取而代之的操作是先水平镜射，再旋转$180^{\circ }/n$。$D_{n\mathrm {h} }$是正$n$棱柱和双棱锥的对称群。$D_{n\mathrm {d} }$则是正$n$角反棱柱的对称群，亦是正$n$方偏方面体的对称群。最后，$D_{n}$是稍稍扭过的正$n$棱柱的对称群。

$D_{2}$及$D_{2\mathrm {h} }$较特殊，因为并无特别的主旋转轴：三条互相垂直的旋转轴皆为二重轴。$D_{2}$是下节所有多面体对称群的子群，而$D_{2\mathrm {h} }$则是多面体群$T_{\mathrm {h} }$与$O_{\mathrm {h} }$的子群。$D_{2}$可以作为下列化学品的对称群：

• 刀豆蛋白A等同四聚体、
• 四个相同具手性配位基的四面体形配合物、
• 四个同手性氟氯甲基的四(氟氯甲基)甲烷。

$D_{2}$的元素，与利普希茨四元数的可逆元表示的旋转，有一对二的关系。

群$S_{n}$由“先关于水平面作镜射，再旋转$360^{\circ }/n$”生成。对于奇数$n$，是等于前述两个操作分开执行，生成的群$C_{n\mathrm {h} }$，阶为$2n$，故不必用到记号$S_{n}$。然而，对偶数$n$，两个群有差异，且$S_{n}$仅有$n$个元素。与$D_{n\mathrm {d} }$类似，其包含若干瑕旋转，但不包含对应的旋转。

七列轴向群的元素仅有下列四对重复：

• $C_{1\mathrm {h} }$及$C_{1\mathrm {v} }$：阶数为$2$，由独一个镜射生成。又称$C_{\mathrm {s} }$。
• $D_{1}$与$C_{2}$：阶数为$2$，由独一个$180^{\circ }$旋转生成。
• $D_{1\mathrm {h} }$与$C_{2\mathrm {v} }$：阶数为$4$，由一个镜射与镜面上一条轴的$180^{\circ }$旋转生成。
• $D_{1\mathrm {d} }$与$C_{2\mathrm {h} }$：阶数为$4$，由一个镜射与一条垂直于镜面的轴的$180^{\circ }$旋转生成。

$S_{2}$是由独一个点反演生成的$2$阶群，又记为$C_{\mathrm {i} }$。

此处“重复”是指作为$O(3)$的子群共轭，是强于作为抽象群代数同构的条件。例如，前一种意义下，有三个不同的$2$阶群，但祇有一个$2$阶抽象群。类似，也有$S_{2n}$与$Z_{2n}$抽象同构。

群的构造亦可描述如下：

• $C_{n}$是由独一个元素生成，生成元亦称为$C_{n}$，是绕轴转$2\pi /n$。群的元素是：$E$（单位元），$C_{n},C_{n}^{2},\ldots ,C_{n}^{n-1}$，对应旋转角$0,\ 2\pi /n,\ 4\pi /n,\ \ldots ,\ 2(n-1)\pi /n$。该轴视为竖直轴。
• $S_{2n}$由独一个元素$C_{2n}\sigma _{\mathrm {h} }$生成，其中$\sigma _{\mathrm {h} }$是水平面的镜射。群的元素是$C_{n}$的元素，另加$C_{2n}\sigma _{\mathrm {h} },\ C_{2n}^{3}\sigma _{\mathrm {h} },\ C_{2n}^{5}\sigma _{\mathrm {h} },\ \ldots ,\ C_{2n}^{2n-1}\sigma _{\mathrm {h} }$。
• $C_{n\mathrm {h} }$由$C_{n}$与反射$\sigma _{\mathrm {h} }$生成。群的元素是$C_{n}$的元素，另加$\sigma _{\mathrm {h} },\ C_{n}\sigma _{\mathrm {h} },\ C_{n}^{2}\sigma _{\mathrm {h} },\ \ldots ,\ C_{n}^{n-1}\sigma _{\mathrm {h} }$。
• $C_{n\mathrm {v} }$由$C_{n}$与竖直镜面的反射$\sigma _{\mathrm {v} }$生成。群的元素是$C_{n}$的元素，另加$\sigma _{\mathrm {v} },\ C_{n}\sigma _{\mathrm {v} },\ C_{n}^{2}\sigma _{\mathrm {v} },\ \ldots ,\ C_{n}^{n-1}\sigma _{\mathrm {v} }$。
• $D_{n}$是由$C_{n}$与绕水平面上某轴$180^{\circ }$的旋转$U=\sigma _{\mathrm {h} }\sigma _{\mathrm {v} }$，其元素是$C_{n}$的元素，另加$U,\ C_{n}U,\ C_{n}^{2}U,\ \ldots ,\ C_{n}^{n-1}U$。
• $D_{n\mathrm {d} }$由元素$C_{2n}\sigma _{\mathrm {h} }$与$\sigma _{\mathrm {v} }$生成。元素是$C_{n}$的元素，加上$S_{2n}$与$C_{n\mathrm {v} }$的额外元素，再加上$C_{2n}\sigma _{\mathrm {h} }\sigma _{\mathrm {v} },\ C_{2n}^{3}\sigma _{\mathrm {h} }\sigma _{\mathrm {v} },\ C_{2n}^{5}\sigma _{\mathrm {h} }\sigma _{\mathrm {v} },\ \ldots ,\ C_{2n}^{2n-1}\sigma _{\mathrm {h} }\sigma _{\mathrm {v} }$。
• $D_{n\mathrm {h} }$由元素$C_{n},\ \sigma _{\mathrm {h} },\ \sigma _{\mathrm {v} }$生成。其元素为$C_{n}$的元素，再加上$C_{n\mathrm {h} },\ C_{n\mathrm {v} },\ D_{n}$的所有额外元素。

取$n$趋向$\infty$的极限，则得到连续轴向群（或无穷阶轴向群）：

赫－莫	熊夫利	轨形	考克斯特		是何序列的极限	抽象群
$\infty$	$C_{\infty }$	$\infty \infty$	$[\infty ]^{+}$		$C_{n}$	$Z_{\infty }$	$SO(2)$
${\overline {\infty }},\ \infty /\mathrm {m}$	$C_{\infty \mathrm {h} }$	$\infty ^{*}$	$[2,\infty ^{+}]$		$C_{n\mathrm {h} },\ S_{2n}$	$Z_{2}\times Z_{\infty }$	$Z_{2}\times SO(2)$
$\infty \mathrm {m}$	$C_{\infty \mathrm {v} }$	${}^{*}\infty \infty$	$[\infty ]$		$C_{n\mathrm {v} }$	$\mathrm {Dih} _{\infty }$	$O(2)$
$\infty 2$	$D_{\infty }$	$22\infty$	$[2,\infty ]^{+}$		$D_{n}$	$\mathrm {Dih} _{\infty }$	$O(2)$
${\overline {\infty }}\mathrm {m} ,\ \infty /\mathrm {mm}$	$D_{\infty \mathrm {h} }$	${}^{*}22\infty$	$[2,\infty ]$		$D_{n\mathrm {h} },\ D_{n\mathrm {d} }$	$Z_{2}\times \mathrm {Dih} _{\infty }$	$Z_{2}\times O(2)$

七个其他点群

馀下七个点群又称为高度对称或多面体对称，因为有多于一条旋转轴的重数大于二。下表中，$C_{n}$表示一条$n$重轴，即旋转角为$360^{\circ }/n$，$S_{n}$则表示同样旋转角的瑕旋转轴。所用记号，首先是字母表示的熊夫利记号，然后括号内为轨形记号，然后为考克斯特记号及图，最后是赫尔曼–莫甘记号及倘有的简写。

$T,\ (332)$ $[3,3]^{+}$（） $23$ 阶为$12$	手性四面体对称	有四条$C_{3}$轴，是立方体的四条体对角线，也可以看成正四面体四个顶点分别到对面中心的连线。另有三条$C_{2}$轴，是立方体三组对面的中心连线，也是正四面体三组对边的中点连线。$T$同构交错群$A_{4}$，即四个元素的偶排列的群。本群为正四面体的旋转群，也是$T_{\mathrm {d} },\ T_{\mathrm {h} }$及以下两种八面体对称群的正规子群。本群的$12$个元素，与赫维兹四元数的$24$个可逆元，有一对二的关系，而后者又称为二元四面体群。
$T_{\mathrm {d} },\ (^{*}332)$ $[3,3]$（） ${\overline {4}}3\mathrm {m}$ 阶为$24$	全四面体对称	本群与$T$有相同的旋转轴，但另有六块镜面，每块经过立方体的两条不在同一面的平行边，也是正四面体六条棱各自的垂直平分面。每块镜面包含一条$C_{2}$轴，两条$C_{3}$轴。原$C_{2}$轴，加入镜射后，变成$S_{4}$轴。本群是正四面体的对称群。$T_{\mathrm {d} }$同构于$4$个元素的对称群$S_{4}$，因为$T_{\mathrm {d} }$的元素，会将$4$条$C_{3}$轴重新排列，而元素与此四条轴的排列一一对应。若一件物体绕其中一条三重轴，有$C_{3\mathrm {v} }$对称，则在$T_{\mathrm {d} }$作用下，轨道有四件同样的物体，$T_{\mathrm {d} }$就对应此四件物体的排列的集合。$T_{\mathrm {d} }$是$O_{\mathrm {h} }$的正规子群。
$T_{\mathrm {h} },\ (3^{*}2)$ $[3^{+},4]$（） $2/\mathrm {m} {\overline {3}},\ \mathrm {m} {\overline {3}}$ 阶为$24$	五角十二面体对称	排球的缝线有$T_{\mathrm {h} }$。（立方五角十二面体） 本群与$T$的旋转轴相同，另有与立方体的面平行的镜面。四条$C_{3}$轴变成$S_{6}$轴，并有关于中心的反演对称。$T_{\mathrm {h} }$同构于$A_{4}\times Z_{2}$（因为$T$与$C_{\mathrm {i} }$皆是正规子群），而与对称群$S_{4}$不同构。若在立方体的每个面上，各画一条线段，将该面分成两个全等的长方形，且使得新增的线段不会相交于棱上，则所得的图形的对称群为$T_{\mathrm {h} }$。该些对称是：立面体四条体对角线的偶排列，及该等偶排列与中心反演的复合。本群亦是五角十二面体的对称群。五角十二面体与前述的（面经分割的）立方体类似，但其中每个长方形换成有四边等长，具一条对称轴的五角形，而五角形馀下一条不同长度的边，对应立方体的面上新增的线段。换言之，可以想像立方体的面在分割线隆起，并在该处变窄（即分割线变短）。本群为全二十面体对称群的子群（但不正规），且是作为等距变换群的子群，而不仅是抽象子群。全二十面体对称群有十条三重轴，而本群有其中四条。本群亦为$O_{\mathrm {h} }$的正规子群。虽然记作$T_{\mathrm {h} }$，本群并非任何四面体（英语：Tetrahedron）的对称群。
$O,\ (432)$ $[4,3]^{+}$（） $432$ 阶为$24$	手性八面体对称	本群与$T$类似，但各$C_{2}$轴现改成$C_{4}$轴，并有额外六条$C_{2}$轴，是过正方体中心与（六对）棱中点的直线。本群与$S_{4}$同构，因为其元素与四条三重轴的$24$个排列一一对应，与$T$类似。若物体绕某条三重轴有$D_{3}$对称，则在$O$作用下，轨道有四件同样的物体，而$O$的元素也一一对应此四件物体的排列。本群是立方体与正八面体的旋转群。若用四元数表示旋转，则$O$对应$24$个赫维兹四元数的可逆元及范数平方为$2$的$24$个利普希茨四元数，各除以${\sqrt {2}}$。与$T$类似，此为一对二的关系。
$O_{\mathrm {h} },\ (^{*}432)$ $[4,3]$（） $4/\mathrm {m} {\overline {3}}2/\mathrm {m} ,\ \mathrm {m} {\overline {3}}\mathrm {m}$ 阶为$48$	全八面体对称	本群与$O$有同样的旋转轴，但也有镜射，有齐$T_{\mathrm {d} }$与$T_{\mathrm {h} }$的所有镜面。本群同构于$S_{4}\times Z_{2}$（因为$O$与$C_{\mathrm {i} }$皆为正规子群），且是立方体与正八面体的对称群。见八面体对称。
$I,(532)$ $[5,3]^{+}$（） $532$ 阶为$60$	手性二十面体对称	本群为正二十面体与正十二面体的旋转群，亦是全正二十面体对称群$I_{\mathrm {h} }$的指标$2$正规子群。本群的子群中，有十个$D_{3}$与六个$D_{5}$（即棱柱或反棱柱的旋转群）。本群也包含五个$T$子群（见五复合正四面体）。抽象而言，$I$同构于$5$次交错群$A_{5}$，因为其元素作用在五个$T$子群上，与其偶排列一一对应。等价地，可以考虑$I$对前述五复合正四面体的五个单体的作用。以四元数表示旋转，则$I$对应$120$个二十数可逆元。与先前一样，此为一对二的关系。
$I_{\mathrm {h} },\ (^{*}532)$ $[5,3]$（） ${\overline {53}}2/\mathrm {m} ,\ {\overline {53}}\mathrm {m}$ 阶为$120$	全二十面体对称	本群为正二十面体与正十二面体的对称群。$I_{\mathrm {h} }$与抽象群$A_{5}\times Z_{2}$同构，因为$I$与$C_{\mathrm {i} }$皆是正规子群。本群的子群中，有十个$D_{3\mathrm {d} }$、六个$D_{5\mathrm {d} }$（反棱柱的对称）、五个$T_{\mathrm {h} }$。

相关的连续群有：

• 旋转群$SO(3)$，即所有旋转的群，亦记作$\infty \infty$或$K$。
• 正交群$O(3)$，所有旋转和镜射生成的群，亦记作$\infty \infty \mathrm {m}$或$K_{\mathrm {h} }$。

如无穷等距变换群一节所言，任何物理实体，若有$K$对称性，则必有$K_{\mathrm {h} }$对称性。

轨形记号与阶

若已知群的轨形记号，则可计算其阶数，等于$2$除以轨形的欧拉示性数。轨形的欧拉示性数是将$2$减去轨形记号中，各符号特征数的总和：

• 无${}^{*}$或在${}^{*}$之前的$n$，值为$(n-1)/n$；
• 在${}^{*}$之后的$n$，值为$(n-1)/(2n)$；
• ${}^{*}$与$\times$计为$1$。

此公式同样适用于壁纸群与带群：对该等群，特征数之和为$2$，所以阶数是无穷大。亦见壁纸群条目。

反射考克斯特群

三维考克斯特群的基本域

$A_{3},\ [3,3],$	$B_{3},\ [4,3],$	$H_{3},\ [5,3],$
$6$块镜	$3+6$块镜	$15$块镜
$2A_{1},\ [1,2],$	$3A_{1},\ [2,2],$	$A_{1}A_{2},\ [2,3],$
$2$块镜	$3$块镜	$4$块镜
$A_{1},\ [1],$	$2A_{1},\ [2],$	$A_{2},\ [3],$
$1$块镜	$2$块镜	$3$块镜

三维反射点群又称为考克斯特群，能以考克斯特－邓肯图表示，是交于同一个中心点的若干镜面反射生成的群。该些镜面将球面分割成球面三角形区域。若考克斯特群能以少于三个镜射生成，则该球面三角形退化，变成球面二角形或半球面。在考克斯特记号，该些群是正四面体对称$[3,3]$、正八面体对称$[4,3]$、正二十面体对称$[5,3]$、二面体对称$[p,2]$。不可约群的镜面数是$nh/2$，其中$h$是群的考克斯特数，而$n$是反射方向的秩（维数），等于符号的下标。

熊夫利记号	考克斯特－ 邓肯图标签	考克斯特记号		群阶	考克斯特数 （$h$）	镜数 （$m$）
多面体群
$T_{\mathrm {d} }$	$A_{3}$		$[3,3]$	$24$	$4$	$6$
$O_{\mathrm {h} }$	$B_{3}$		$[4,3]$	$48$	$6$	$3+6$
$I_{\mathrm {h} }$	$H_{3}$		$[5,3]$	$120$	$10$	$15$
二面体群
$D_{1\mathrm {h} }$	$2A_{1}$		$[1,2]$	$4$		$1+1$
$D_{2\mathrm {h} }$	$3A_{1}$		$[2,2]$	$8$		$2+1$
$D_{p\mathrm {h} }$	$I_{2}(p)A_{1}$		$[p,2]$	$4p$		$p+1$
循环群
$C_{2\mathrm {v} }$	$2A_{1}$		$[2]$	$4$		$2$
$C_{p\mathrm {v} }$	$I_{2}(p)$		$[p]$	$2p$	$p$	$p$
单镜面
$C_{1\mathrm {v} }$	$A_{1}$		$[\ ]$	$2$		$1$

旋转群

有限旋转群，即$SO(3)$的有限子群，仅有：循环群$C_{n}$（正棱锥的旋转群）、二面体群$D_{n}$（正棱柱或双锥体的旋转群）、$T$（正四面体的旋转群）、$O$（正八面体或正六面体的旋转群）、$I$（正二十面体或正十二面体的旋转群）。

特别地，二面体群$D_{3}$、$D_{4}$等，是平面正多边形嵌入到三维空间后的旋转群。此种薄片也可以视为退化的正棱柱，或称为二面体，二面体群因而得名。

• 若物体的对称类为$C_{n},\ C_{n\mathrm {h} },\ C_{n\mathrm {v} },\ S_{2n}$，则旋转群为$C_{n}$。
• 若物体的对称类为$D_{n},\ D_{n\mathrm {h} },\ D_{n\mathrm {d} }$，则旋转群为$D_{n}$。
• 若物体的对称类属其他七种多面体对称，则旋转群是相应无下标的群，即$T,\ O,\ I$之一。

当且仅当物体有手性时，其旋转群等于整个对称群。换言之，手性物体就是对称群在旋转群列表中的物体。

用熊夫利记号、考克斯特记号，及括号内的轨形记号表示，旋转群是：

反射	反射/旋转	瑕旋转	旋转
$C_{n\mathrm {v} },\ [n],\ (^{*}nn)$	$C_{n\mathrm {h} },\ [n^{+},2],\ (n^{*})$	$S_{2n},\ [2n^{+},2^{+}],\ (n\times )$	$C_{n},\ [n]^{+},\ (nn)$
$D_{n\mathrm {h} },\ [2,n],\ (^{*}n22)$	$D_{n\mathrm {d} },\ [2^{+},2n],\ (2^{*}n)$		$D_{n},\ [2,n]^{+},(n22)$
$T_{\mathrm {d} },\ [3,3],\ (^{*}332)$			$T,\ [3,3]^{+},\ (332)$
$O_{\mathrm {h} },\ [4,3],\ (^{*}432)$	$T_{\mathrm {h} },\ [3^{+},4],\ (3^{*}2)$		$O,\ [4,3]^{+},\ (432)$
$I_{\mathrm {h} },\ [5,3],\ (^{*}532)$			$I,\ [5,3]^{+},\ (532)$

旋转群与其他群的对应

下列群有点反演：

• $n$为偶数时，$C_{n\mathrm {h} }$及$D_{n\mathrm {h} }$、
• $n$为奇数时，$S_{2n}$及$D_{n\mathrm {d} }$（特别地，$S_{2}=C_{\mathrm {i} }$是仅由点反演生成的群，另有$D_{1\mathrm {d} }=C_{2\mathrm {h} }$属于前项）、
• $T_{\mathrm {h} },\ O_{\mathrm {h} },\ I_{\mathrm {h} }$。

如上文所述，此种群与所有旋转群之间，有一一对应：

• $C_{n\mathrm {h} }$（$n$为偶）及$S_{2n}$（$n$为奇）对应$C_{n}$。
• $D_{n\mathrm {h} }$（$n$为偶）及$D_{n\mathrm {d} }$（$n$为奇）对应$D_{n}$。
• $T_{\mathrm {h} },\ O_{\mathrm {h} },\ I_{\mathrm {h} }$分别对应$T,O,I$。

下列群具有间接（不保定向）的等距变换，但无点反演：

• $C_{n\mathrm {v} }$、
• $n$为奇数时，$C_{n\mathrm {h} }$及$D_{n\mathrm {h} }$、
• $n$为偶数时，$S_{2n}$及$D_{n\mathrm {d} }$、
• $T_{\mathrm {d} }$。

上述各群分别对应一个旋转群$H$及其指标$2$的子群$L$，使得该群是由$H$的元素，加上$H\setminus L$经点反演后的元素得到，如上文所述：

• $C_{n}$是$D_{n}$的指标$2$子群，对应$C_{n\mathrm {v} }$。
• $C_{n}$是$C_{2n}$的指标$2$子群，$n$为奇时对应$C_{n\mathrm {h} }$，$n$为偶时则对应$S_{2n}$。
• $D_{n}$是$D_{2n}$的指标$2$子群，$n$为奇时对应$D_{n\mathrm {h} }$，$n$为偶时对应$D_{n\mathrm {d} }$。
• $T$是$O$的指标$2$子群，对应$T_{\mathrm {d} }$。

极大对称群

离散点群中，$O_{\mathrm {h} }$和$I_{\mathrm {h} }$并非任何其他离散点群的真子群，故谓极大。其公共子群中，最大的是$T_{\mathrm {h} }$。由此，可以将二重旋转对称改成四重而得$O_{\mathrm {h} }$，亦可加入五重旋转对称而得$I_{\mathrm {h} }$。

类似地，有两个晶体学点群并非任何其他晶体学点体的真子群：$O_{\mathrm {h} }$与$D_{6\mathrm {h} }$。视乎方向，其极大公共子群为$D_{3\mathrm {d} }$或$D_{2\mathrm {h} }$。

按抽象群同构分类

下列若干个表，将前述诸群，按抽象群同构分类。

最小几个不能表示成三维对称群的抽象群为：$8$阶的四元群、$9$阶的$Z_{3}\times Z_{3}$、$12$阶的双循环群$\mathrm {Dic} _{3}$，以及十四个$16$阶群的其中十个。

下表中，“$2$阶元素数”一列，数算$C_{2},C_{\mathrm {i} },C_{\mathrm {s} }$三类等距变换子群的总数，是有助分辨抽象群类型的特征数，而该总数之内，各类等距变换子群的数目，则有助辨别属同一类抽象群的不同等距变换群。

循环群

$n$重旋转对称的对称群为$C_{n}$。其抽象同构类是循环群$Z_{n}$，亦可记作$C_{n}$。然而，另有两列对称群同构于循环群：

• 对于偶阶数$2n$，瑕旋转群$S_{2n}$（熊夫利记号），生成元为绕某轴$180^{\circ }/n$的旋转后关于与轴垂直的镜面反射。$S_{2}$也记为$C_{\mathrm {i} }$，由点反演生成。
• 对于奇数$n$，有阶数$2n$的群$C_{n\mathrm {h} }$。该群有一条$n$重旋转轴，另有与该轴垂直的镜射。换言之，群由两种变换生成，即绕轴$360^{\circ }/n$的旋转，及该镜射。$C_{1\mathrm {h} }$又可记作$C_{\mathrm {s} }$，仅由一个镜射生成。

故可总结出下表：（十个循环晶体学点群以粗体标出，其满足晶体学限制。）

阶数	等距变换群	抽象群	$2$阶元素数	环图
$1$	${\boldsymbol {C_{1}}}$	$Z_{1}$	$0$
$2$	${\boldsymbol {C_{2},C_{\mathrm {i} },C_{\mathrm {s} }}}$	$Z_{2}$	$1$
$3$	${\boldsymbol {C_{3}}}$	$Z_{3}$	$0$
$4$	${\boldsymbol {C_{4},S_{4}}}$	$Z_{4}$	$1$
$5$	$C_{5}$	$Z_{5}$	$0$
$6$	${\boldsymbol {C_{6},S_{6},C_{3\mathrm {h} }}}$	$Z_{6}\cong Z_{3}\times Z_{2}$	$1$
$7$	$C_{7}$	$Z_{7}$	$0$
$8$	$C_{8},S_{8}$	$Z_{8}$	$1$
$9$	$C_{9}$	$Z_{9}$	$0$
$10$	$C_{10},S_{10},C_{5\mathrm {h} }$	$Z_{10}\cong Z_{5}\times Z_{2}$	$1$
$\vdots$

二面群

二维二面体群$D_{n}$有旋转和反射，但二维反射亦可视为在三维空间中，将不区分正反面的薄片翻转。

然而在三维，反射与翻转须作区分。以$D_{n}$表示的对称群，有$n$条二重轴，与$n$重的主旋转轴垂直，但无反射。$D_{n}$是正$n$棱柱、正双$n$角锥、正$n$角反棱柱、$n$方偏方面体的旋转群。若略作改动，如在每面加上相同的手性标记，或稍为改变形状，则可以使物体具有手性，从而令$D_{n}$为其全对称群。

相应的抽象群类型是二面体群$\mathrm {Dih} _{n}$，亦可照样记为$D_{n}$。但除$D_{n}$外，还有三个无穷序列的对称群，同构于二面体群：

• $C_{n\mathrm {v} }$，阶为$2n$，是正$n$棱锥的对称群；
• $D_{n\mathrm {d} }$，阶为$4n$，是正$n$角反棱柱的对称群；
• 对应奇数$n$的群$D_{n\mathrm {h} }$，其阶为$4n$。当$n=1$时，等同$D_{2}$，已于上文讨论，故此处可取$n\geq 3$。

注意有以下同构：

$\mathrm {Dih} _{4n+2}\cong \mathrm {Dih} _{2n+1}\times Z_{2}.$

于是可以整理出下表：（有$12$个晶体学点群用粗体标示，另$D_{1\mathrm {d} }$写成等价的$C_{2\mathrm {h} }$）

阶数	等距变换群	抽象群	$2$阶元素数	环图
$4$	${\boldsymbol {D_{2},C_{2\mathrm {v} },C_{2\mathrm {h} }}}$	$\mathrm {Dih} _{2}\cong Z_{2}\times Z_{2}$	$3$
$6$	${\boldsymbol {D_{3},C_{3\mathrm {v} }}}$	$\mathrm {Dih} _{3}$	$3$
$8$	${\boldsymbol {D_{4},C_{4\mathrm {v} },D_{2\mathrm {d} }}}$	$\mathrm {Dih} _{4}$	$5$
$10$	$D_{5},C_{5\mathrm {v} }$	$\mathrm {Dih} _{5}$	$5$
$12$	${\boldsymbol {D_{6},C_{6\mathrm {v} },D_{3\mathrm {d} },D_{3\mathrm {h} }}}$	$\mathrm {Dih} _{6}\cong \mathrm {Dih} _{3}\times Z_{2}$	$7$
$14$	$D_{7},C_{7\mathrm {v} }$	$\mathrm {Dih} _{7}$	$7$
$16$	$D_{8},C_{8\mathrm {v} },D_{4\mathrm {d} }$	$\mathrm {Dih} _{8}$	$9$
$18$	$D_{9},C_{9\mathrm {v} }$	$\mathrm {Dih} _{9}$	$9$
$20$	$D_{10},C_{10\mathrm {v} },D_{5\mathrm {h} },D_{5\mathrm {d} }$	$\mathrm {Dih} _{10}\cong \mathrm {Dih} _{5}\times Z_{2}$	$11$
$\vdots$

其他

$C_{2n\mathrm {h} }$的阶数为$4n$，同构于抽象群$Z_{2n}\times Z_{2}$。在$n=1$时，$C_{2n\mathrm {h} }$等同$\mathrm {Dih} _{2}$，已于上小节讨论，故本小节仅考虑$n\geq 2$的情况。

此系列的群可以整理成下表：（其中两个晶体学点群以粗体强调）

阶数	等距变换群	抽象群	$2$阶元素数	环图
$8$	${\boldsymbol {C_{4\mathrm {h} }}}$	$Z_{4}\times Z_{2}$	$3$
$12$	${\boldsymbol {C_{6\mathrm {h} }}}$	$Z_{6}\times Z_{2}\cong Z_{3}\times Z_{2}^{2}\cong Z_{3}\times \mathrm {Dih} _{2}$	$3$
$16$	$C_{8\mathrm {h} }$	$Z_{8}\times Z_{2}$	$3$
$20$	$C_{10\mathrm {h} }$	$Z_{10}\times Z_{2}\cong Z_{5}\times Z_{2}^{2}\cong Z_{5}\times \mathrm {Dih} _{2}$	$3$
$\vdots$

$D_{n\mathrm {h} }$的阶数为$4n$，同构于抽象群$\mathrm {Dih} _{n}\times Z_{2}$。对于奇数$n$，已于上小节讨论，故此处仅考虑阶数为$8n$的群$D_{2n\mathrm {h} }$，其抽象群类别为$\mathrm {Dih} _{2n}\times Z_{2}$。（$n\geq 1$）

此系列的群可以整理成下表：（其中三个晶体学点群以粗体强调）

阶数	等距变换群	抽象群	$2$阶元素数	环图
$8$	${\boldsymbol {D_{2\mathrm {h} }}}$	$\mathrm {Dih} _{2}\times Z_{2}\cong Z_{2}^{3}$	$7$
$16$	${\boldsymbol {D_{4\mathrm {h} }}}$	$\mathrm {Dih} _{4}\times Z_{2}$	$11$
$24$	${\boldsymbol {D_{6\mathrm {h} }}}$	$\mathrm {Dih} _{6}\times Z_{2}\cong \mathrm {Dih} _{3}\times Z_{2}^{2}$	$15$
$32$	$D_{8\mathrm {h} }$	$\mathrm {Dih} _{8}\times Z_{2}$	$19$
$\vdots$

馀下七个多面体群是：（其中五个晶体学点群以粗体强调）

阶数	等距变换群	抽象群	$2$阶元素数	环图
$12$	${\boldsymbol {T}}$	$A_{4}$	$3$
$24$	${\boldsymbol {T_{\mathrm {d} },O}}$	$\definecolor {linkblue}{rgb}{0.0235,0.2706,0.6784}\color {linkblue}{S_{4}}$	$9$
$24$	${\boldsymbol {T_{\mathrm {h} }}}$	$A_{4}\times Z_{2}$	$7$
$48$	${\boldsymbol {O_{\mathrm {h} }}}$	$S_{4}\times Z_{2}$	$19$
$60$	$I$	$A_{5}$	$15$
$120$	$I_{\mathrm {h} }$	$A_{5}\times Z_{2}$	$31$

基本域

四角化菱形三十面体

二十面体对称的反射面与单位球面交于若干大圆，将球面分成$120$个球面直角三角形的基本域。

点群的基本域是锥体。若物体有给定的对称群，则指明物体的某一个基本域变换至哪个基本域，就足以确定该变换。另外，仅从该件物体在一个基本域内的形状，就足以确定整件物体的形状。若物体是曲面，则可由其被一个基本域截得的部分确定，该部分亦是（有边界的）曲面，下称“基本面”，延伸至基本域的径向边界面（即锥体的侧面）。但是，若基本面与其他基本面（即基本面在其他基本域的复制），两者的边界未能贴合，则需要添加径向的面或其他曲面，以使各基本面连接成一个整体。若基本面以反射面为界，则必然贴合。

基本面可以取为任意平面被基本域所截的部分，如此得到一个多面体，具有给定的对称群，如四角化菱形三十面体的每一个面，即为全二十面体对称的一个基本面。若调整该面的方向，则有时可以使相邻的若干个基本面共面，而合并成同一个面，得到具同样对称群的其他多面体，如正十二面体和正二十面体。若基本面的边界能够贴合，且基本面的法向量是在基本域内，则所得的多面体为凸多面体。

基本面也可以取为其他形状，不必在同一平面内，例如可取为若干个不同平面的区域连接而成的曲面。

二元多面体群

考虑三维旋量群$\mathrm {Spin} (3)$到旋转群$SO(3)$的二重覆叠投映。由于$\mathrm {Spin} (3)$已是单连通，故为$SO(3)$仅有的非平凡连通覆叠。

由子群的对应，$\mathrm {Spin} (3)$与$SO(3)$的子群（即旋转点群）之间有伽罗瓦连接：$\mathrm {Spin} (3)$子群投映到$SO(3)$，必为旋转子群，而反之，旋转子群的原像亦必为是$\mathrm {Spin} (3)$的子群。注意$\mathrm {Spin} (3)$可以等价描述成特殊酉群$SU(2)$，或是单位四元数群，亦属李群，拓扑上同胚于三维球面$S^{3}$。

有限点群的原像称为二元多面体群，记作$\langle l,n,m\rangle$，与多面体群$(l,m,n)$对应，而名称则是相应点群的名称加上“二元”前缀，阶数为点群阶数的两倍。例如，二十面体群$(2,3,5)$的原像，便是二元二十面体群$\langle 2,3,5\rangle$。

二元多面体群为：

• $A_{n}$: 正$n$边形的二元循环群，阶数$2n$。
• $D_{n}$: 正$n$边形的二元二面体群$\langle 2,2,n\rangle$，阶数$4n$。
• $E_{6}$: 二元四面体群$\langle 2,3,3\rangle$，阶数$24$。
• $E_{7}$: 二元八面体群$\langle 2,3,4\rangle$，阶数$48$。
• $E_{8}$: 二元二十面体群$\langle 2,3,5\rangle$，阶数$120$。

该些群能按ADE分类，而$\mathbb {C} ^{2}$在二元多面体群作用下的商空间，是杜瓦尔奇点。

对于不保定向的点群，情况较复杂，因为有两个Pin群，所以对应给定的点群，有两个可能的二元群。

注意前述“覆叠”仅是群的覆叠，而不是多面体空间的覆叠：球面本身单连通，并无非平凡覆叠。所以，并无所谓“二元多面体”覆叠原有的多面体。二元多面体群是旋量群的离散子群，所以若选定旋量群的表示，作用于一个向量空间，则该二元多面体群在该表示下，可能将某个多面体映到自身，例如在$\mathrm {Spin} (3)\to SO(3)$映射下，二元多面体群作用为旋转，与底下的（非二元）群是同一个多面体的等距变换，然而，在旋量表示或其他表示下，二元多面体群可以作用在不同的多面体上。

二元多面体群不是射影多面体的对称群。球面确实覆叠射影空间（以及透镜空间），故可以考虑射影空间的密铺，视之为另一种“多面体”，即射影多面体，但是，考虑二元多面体群时，并非取多面体所覆叠的空间，而是取覆叠对称群的群，所以两件事不相同。

参见

• 球对称群列表
• 化学常用三维点群的特征标表
• 二维点群
• 四维点群
• 对称——经某种变换后仍与原先相同
• 欧氏平面等距变换
• 群作用——在一些集合上从一组到一组双射的同态
• 点群——几何学中，保持某一点不动的等距变换的群
• 晶系——空间群、格、点群、晶体的分类
• 空间群——空间中，某结构的对称群（空间群列表）
• 小群列表
• 分子对称性——维持化学分子形状不变的空间变换

参考文献

• Coxeter, H. S. M. 7 The Binary Polyhedral Groups [第7章：二元多面体群]. Regular Complex Polytopes [正复多胞形]. Cambridge University Press. 1974: 73–82 （英语）. 
• Coxeter, H. S. M.; Moser, W. O. J. 6.5 The binary polyhedral groups [第6.5节：二元多面体群]. Generators and Relations for Discrete Groups [离散群的生成元与关系] 4th edition. New York: Springer-Verlag. 1980: 68. ISBN 0-387-09212-9 （英语）.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
• Conway, John Horton; Huson, Daniel H. The Orbifold Notation for Two-Dimensional Groups [二维群的轨形记号]. Structural Chemistry (Springer Netherlands). 2002, 13 (3): 247–257. S2CID 33947139. doi:10.1023/A:1015851621002 （英语）. 

外部链结

• 32個晶體學點群的圖像概覽. （原始内容存档于2012-02-04） （英语）. ——显示七个无穷序列的前几项（跳过$n=5$），以及其馀七个多面体群之五。
• 點群性質概覽. [2021-09-17]. （原始内容存档于2021-06-16） （英语）. 
• Simplest Canonical Polyhedra of Each Symmetry Type [每种对称型的最简典范多面体]. （原始内容存档于2008-03-16） （英语）. 
• Wei, Yi-Shu. Point Groups and Crystal Systems [点群与晶系] (PDF): 4–6. （原始内容 (PDF)存档于2012-10-24） （英语）. 
• Levy, Silvio. 10.1 Formulas for Symmetries in Cartesian Coordinates (three dimensions) [第10.1节 笛卡尔坐标系中对称的公式（三维）]. Geometry Formulas and Facts [几何公式与事实]. The Geometry Center. [2021-09-17]. （原始内容存档于2021-04-18） （英语）.