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GPY筛法

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GPY筛法(Goldston-Pintz-Yıldırım sieve)是一种筛法,这种筛法是塞尔伯格筛法的一种带有一般、多维筛选权重的变体。这种筛法已为解析数论的研究带来多项突破。

这种筛法以Goldston英语Daniel GoldstonPintz英语János_PintzYildirim英语Cem Yıldırım这三位数学家为名。[1]他们在2005年时以此筛法证明说根据质数定理,可推出存在有无限多的质数组,其间隔任意地小于质数的平均间隔。

张益唐后来修改此筛法,以证明说两个相隔质数间出现无限多次的最小间隔的有限界限为何。[2]之后詹姆斯·梅纳德(他把上述的界限降到[3])及陶哲轩都曾修改此筛法。

GPY筛法

表记

首先固定,之后定义以下表记:

  • 是质数集合,且是这集合的特征方程。
  • 冯·曼戈尔特函数
  • 是用以计算的不同质因数个数的小写俄梅戛函数英语prime omega function
  • 是一组相异的非负整数的集合。
  • 是另一个关于质数的特征函数,其定义如下:
其中

对于有以下定义:

  • 的相异同余类个数。像例如因为之故,因此有以及

假若对所有的而言,都有的话,则称为“可及的”(admissible)。

构造

为“可及的”,并考虑以下筛函数(sifting function):

那么对任意的而言,这函数即是计算扣掉某个门槛之后,形如的质数的个数的函数,故在的情况下,有某数使得至少中的质数。

由于的解析性质没那么好之故,因此可改用下列的筛函数:

由于之故,我们仅在存在这两个质数的状况下,有。我们接下来要做的,就是寻找权重函数以便能测得质数k元组英语prime k-tuple

权重的派生

一个权重函数的可能候选,是一般化的冯·曼戈尔特函数

这函数有如次的性质:若,则。虽说这函数也会测得形式为质数幂的因子,但在应用中,这些因子可在仅造成可忽略误差的状况下移除。[1]:826

因此在是质数k元组的状况下,以下方程不会消失:

其中这因子仅仅是因方便计算而选取。

(古典)冯·曼戈尔特函数可以截形冯·曼戈尔特函数来估计:

其中不再表示的长度,但用以决定截取点。类似地我们可以下式估计

因为技术理由,我们会希望估计在多个部分中带有质数的数组,而非再引入另一个参数的状况下仅仅估计质数组,因此我们可选取或较不相异的质因数。而这引出了下列的最终形式:

在不引入这额外参数的状况下,对不同的这样的限制;但借由引入此参数,我们可得到更宽松的限制[1]:827

故对于维的筛法问题,我们有维的筛法。[4]

GPY筛法

GPY筛法有下列形式:

其中

.[1]:827-829

Goldston、Pintz及Yıldırım三氏对主定理的证明

在考虑以及并定义的情况下,Goldston、Pintz及Yıldırım三氏在他们的论文中,以两个定理证明了在合适的条件下,以下两个非病态的形式成立。这两个形式分别为

以及

其中是两个常数,是两个奇异级数(singular series),其描述在此省略。

最后我们可将此结果套用在之上,以得到Goldston、Pintz及Yıldırım三氏“存在有无限多的质数组,其间隔任意地小于质数的平均间隔”的结果。[1]:827-829

注解

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 Goldston, Daniel A.; Pintz, János; Yıldırım, Cem Y. Primes in Tuples I. Annals of Mathematics. 2009, 170 (2): 819–862. doi:10.4007/annals.2009.170.819可免费查阅. 
  2. ^ Zhang, Yitang. Bounded gaps between primes. Annals of Mathematics. 2014, 179: 1121–1174. doi:10.4007/annals.2014.179.3.7可免费查阅. 
  3. ^ Maynard, James. Small gaps between primes. Annals of Mathematics. 2015, 181 (1): 383–413. arXiv:1311.4600可免费查阅. doi:10.4007/annals.2015.181.1.7. 
  4. ^ Goldston, Daniel A.; Pintz, János; Yıldırım, Cem Y.; Graham, Sidney W. Small gaps between primes or almost primes. Transactions of the American Mathematical Society. 2009, 361 (10): 7. arXiv:math/0506067可免费查阅.