提示:此条目页的主题不是
超限数。
在数论中,超越数(英语:transcendental number)是指任何一个不是代数数的无理数。只要它不是任何一个有理系数代数方程的根,它即是超越数。最著名的例子是自然对数底e以及圆周率π。
几乎所有的实数和复数都是超越数,这是因为代数数的集合是可数集,而实数和复数的集合是不可数集之故。
定义
超越数是代数数的相反,也即是说若
是一个超越数,那么对于任何整数
都符合:
![{\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/294af8f00b79ba2dc6a971a0df5b736bd6d614eb)
(其中
)
例子
超越数的例子包括:
- 钱珀瑙恩数
- 刘维尔数:
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}=0.110001000000000000000001000\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31237d27bfd9c8d9031b5378772c60309b8d1b1d)
它是第一个确认为超越数的数,是于1844年刘维尔发现的。
- 自然对数底
(参见:e)。
,其中
是除0以外的代数数。
(参见:圆周率)
林德曼-魏尔斯特拉斯定理,1882年,注:因
是超越数而证明尺规作图中的“化圆为方”的不可实现性。
(参见:e的π次方)
(参见:2的√2次方)。
更一般地,若
为零和一以外的任何代数数及
为无理代数数则
必为超越数。这就是格尔丰德-施奈德定理。
(参见:正弦)
(参见:自然对数),其中
为一不等于1的正有理数。
(参见:朗伯W函数),其中
为一正有理数。
,
及
(参见伽玛函数)。
所有超越数构成的集是一个不可数集,也就是说,几乎所有的实数和复数都是超越数;尽管如此,现今发现的超越数极少,甚至连
是不是超越数也不知道,因为要证明一个数是超越数或代数数是十分困难的。
超越数的证明,给数学带来了大的变革,解决了几千年来数学上的难题——尺规作图三大问题,即倍立方问题、三等分任意角问题和化圆为方问题。随着超越数的发现,这三大问题被证明为不可能。
可能的超越数
以下数仍待证明为超越数或代数数:
- 数 e 和
的大多数和、积、幂等等,例如
,
,
,
,
,
,
,
,
尚未得知是有理数、代数无理数或超越数。值得注意的例外是
,
和
(对于所有正整数
)已被证明是超越数[1][2]
- 欧拉-马歇罗尼常数
,尚未被证明是无理数
- 卡塔兰常数,未被证明是无理数
- 阿培里常数
,是无理数
- 黎曼ζ函数在其他奇整数的取值,
(尚未被证明是无理数)
- 费根鲍姆常数,
与
,皆未证明是否为无理数
- 米尔斯常数,未证明是否为无理数
- 辛钦常数,未证明是否为无理数
- 科普兰-埃尔德什常数,是无理数
猜想:
简要地证明
是超越数
第一个对自然对数底 e是超越数的证明可以追溯到1873年。我们现在跟随的是大卫·希尔伯特的策略。他给出了夏尔·埃尔米特的原始证明的简化。思路如下所示:
为寻找矛盾,假设
是代数数。那就存在一个有限的整系数集
满足下列等式:
![{\displaystyle c_{0}+c_{1}e+c_{2}e^{2}+\cdots +c_{n}e^{n}=0,\qquad c_{0},c_{n}\neq 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06edd1dbf4bc5d7d08780fc4adb1cae268548a10)
现在对于一个正整数
,我们定义如下的多项式:
![{\displaystyle f_{k}(x)=x^{k}\left[(x-1)\cdots (x-n)\right]^{k+1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/588cc6364e878ac16d2e26e682c190d1b9aa5fc9)
并在上述等式的两端乘上
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f848a64338a7e46152c3e8c0081a327b030d9eb1)
于是我们得到等式:
![{\displaystyle c_{0}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+c_{1}e\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0a62612f14a3531c0fb7ea6a090ba86e6124289)
该等式可以写成这种形式
![{\displaystyle P+Q=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bc962c0046e0bc411f1c2a619803b8a08c2fca9)
其中
![{\displaystyle P=c_{0}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+c_{1}e\left(\int _{1}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+c_{2}e^{2}\left(\int _{2}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{n}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/647a78e2a26d576113965f3ad5be200a2c756004)
![{\displaystyle Q=c_{1}e\left(\int _{0}^{1}f_{k}e^{-x}\,dx\right)+c_{2}e^{2}\left(\int _{0}^{2}f_{k}e^{-x}\,dx\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{0}^{n}f_{k}e^{-x}\,dx\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b38cb1730c0fddae64b8a04d5591f0352bd1f107)
引理 1. 对于恰当选择的
,
是非零整数。
证明: P 的每一项都是整数乘以阶乘的和,这可以从以下的关系式得出
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{j}e^{-x}\,dx=j!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72860c2e01b2cc0fdf4ac8e4ab2e720f660aeb90)
对于任何正整数 j 成立(考虑Γ函数)。
它是非零的,因为对于每一个满足 0< a ≤ n 的 a ,
![{\displaystyle c_{a}e^{a}\int _{a}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bc4da49114be73b1a08251273a32b838a726427)
中的被积函数均为 e−x 乘以一些项的和,在积分中用 x - a 替换 x 后, x 的最低幂次是 k+1 。然后这就变成了具有以下形式的积分的和
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{j}e^{-x}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af703931cc8fe7a34c750ba1ed3089e2f9b901dc)
其中 k+1 ≤ j ,而且它是一个能被 (k+1)! 整除的整数。在除以 k! 后,我们得到模 (k+1) 得 0 的数。不过,我们可以写成:
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx=\int _{0}^{\infty }\left([(-1)^{n}(n!)]^{k+1}e^{-x}x^{k}+\cdots \right)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e747e1b39a323845623c69a1afacb5d9251232bf)
于是
![{\displaystyle {\frac {1}{k!}}c_{0}\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx=c_{0}[(-1)^{n}(n!)]^{k+1}\qquad \mod (k+1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e393b3c96bcc1cd130891495c45a01be181f0b85)
通过选择 k ,使得 k+1 是大于 n 与 |c0| 的质数,我们可以得出
模 (k+1) 为非零,从而该数为非零整数。
引理 2. 对于充分大的 k ,
。
证明: 注意到
![{\displaystyle f_{k}e^{-x}=x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k+1}e^{-x}=\left([x(x-1)\cdots (x-n)]^{k}\right)\left((x-1)\cdots (x-n)e^{-x}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ad4591c2ca9714921f790e51c5ea325d311b62)
使用
和
在区间 [0,n] 的上限 G 和 H ,我们可以推出
![{\displaystyle |Q|<G^{k}H(|c_{1}|e+2|c_{2}|e^{2}+\cdots +n|c_{n}|e^{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b11197d14840d8dd40dcb0a2c5f068f725054e06)
从而
![{\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {G^{k}}{k!}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ba3917af79a71d06581916f461d533b0a91d82d)
于是有
![{\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {Q}{k!}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2089dfbae1c83afc9f267ad3a55670b018c84931)
这点足以完成对引理的证明。
注意可以选择满足两个引理的
,从而我们能得出矛盾。进而得以证明
的超越性。
马勒的分类
库尔特·马勒在1932年把超越数分为3类,分别叫做S数、T数和U数[3]。这些类别的定义利用了刘维尔数思想的扩充。
实数的无理性度量
一种定义刘维尔数的方式是考虑对于给定的实数
,可以使得一次多项式
尽可能小但不精确地等于 0 。这里的
,
是满足
,
以正整数
为界的整数。
令
为这些多项式所取的最小非零绝对值,并且令:
![{\displaystyle \omega (x,1,H)=-{\frac {\log m(x,1,H)}{\log H}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fedb37b7b509a802b73b9a58dbda43880599aa25)
![{\displaystyle \omega (x,1)=\limsup _{H\to \infty }\omega (x,1,H).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e358115bc8336f6fa6307bf0f7106133ff73ac12)
常称为实数
的无理性度量(measure of irrationality)。对于有理数
,而且对无理数其值至少为1 。刘维尔数可以定义为具有无穷大的无理性度量的数。Thue–Siegel–Roth定理表明了实代数无理数的无理性度量均为 1 。
复数的超越性度量
接下来考虑多项式对于复数
的取值,这些多项式系数为整数,次数至多为
,而且高至多为
,此处的
,
是正整数。
令
为以
为变量的上述多项式所取的最小非零值,并且令:
![{\displaystyle \omega (x,n,H)=-{\frac {\log m(x,n,H)}{n\log H}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b9d175c97c6c1eeb5656a6f067d3c882bd92812)
![{\displaystyle \omega (x,n)=\limsup _{H\to \infty }\omega (x,n,H).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0221f7f88776d2d07d1124d38a69273652c71e5)
假如对于尽可能小的正整数
,
为无穷大,则这种情况下复数
称为
次的U数。
现在我们可以定义
![{\displaystyle \omega (x)=\limsup _{n\to \infty }\omega (x,n).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ff366602104496b8cbb5c8b44a70ffa5e7f69f3)
常称为
的超越性度量(measure of transcendence)。假如
有界,则
有限,
称为S数。如果
有限而无界,则
称为T数。
为代数数当且仅当
。
显然刘维尔数是U数的子集。威廉·勒维克在1953年构造了任意次数的U数[4][5]。刘维尔数是不可数集,从而U数也是。它们的测度为 0 [6]。
T数组成的集合测度亦为 0 [7]。人们花了 35 年时间证明它们存在。沃尔夫冈·M·施密特在 1968 年证明了T数的样例存在。由是可知几乎所有复数都是S数[8]。马勒证明了当
为任意非零代数数时
均为S数[9][10]:这点揭示了
是S数且给出了
的超越性证明。对于
我们至多知道它不是U数。其他更多的超越数仍未归类。
两个数
,
称为代数相关,当存在 2 个变量的整系数非零多项式
满足
。一个有力的定理指出,属于相同马勒分类的 2 个复数是代数相关的[5][11]。这允许我们构造新形式的超越数,例如刘维尔数与
或
的和。
通常推测 S 代表马勒的老师卡尔·西格尔(Carl Ludwig Siegel),而 T 和 U 是接下来的两个字母。
Koksma 的等价分类
Jurjen Koksma 在 1939 年提出了基于代数数逼近的另一种分类[3][12]。
考虑用次数
且高
的代数数逼近复数
。令
为该有限集中满足
取最小正值得代数数。定义
和
如下:
![{\displaystyle |x-\alpha |=H^{-n\omega ^{*}(x,H,n)-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/068f203b58377f4d062dd4aa6add9ebf47d94642)
![{\displaystyle \omega ^{*}(x,n)=\limsup _{H\to \infty }\omega ^{*}(x,n,H).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eca0af472622485280607f5af0c303fa68fcc328)
若对于最小的正整数
,
为无穷大,则称
为
次的U*数。
若
有界且不收敛到 0 ,则则称
为S*数,
一个数
被称为 A*数 ,当
收敛到 0 。
若所有的
均为有限但无界,则称 x 为T*数,
Koksma和马勒的分类是等价的,因为它们将超越数以同样的方式分类[12]。A*数就是代数数[8]。
勒维克的构造
令
![{\displaystyle \lambda ={\tfrac {1}{3}}+\sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cc5f4fe33314fa0f681d54963105955a2eeb6bf)
可以证明
(刘维尔数)的
次方根是
次的U数[13]。
此构造可以改进以建立
次U数的不可数个系列。令
为上述
的级数中 10 的幂次的集合。
所有子集的集合是不可数的。在表示
的级数中删去任意一个
的子集,将产生不可数个显然的刘维尔数,它们每一个的
次方根都是次数为
的U数。
类型
数列
的上界称为类型(type)。几乎所有实数都是类型为 1 的S数,此类型数在实S数中是最小的。几乎所有复数都是类型为 1/2 的S数,此类型数在复S数中同样是最小的。以上判断对于几乎所有数成立的猜想由马勒提出,于 1965 年由 Vladimir Sprindzhuk 证明[4]。
参考文献
- ^ Weisstein, Eric W. (编). Irrational Number. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语).
- ^ Modular functions and transcendence questions, Yu. V. Nesterenko, Sbornik: Mathematics(1996), 187(9):1319. [2015-03-08]. (原始内容存档于2015-04-02).
- ^ 3.0 3.1 Bugeaud (2012) p.250
- ^ 4.0 4.1 Baker (1975) p. 86.
- ^ 5.0 5.1 LeVeque (2002) p.II:172
- ^ Burger and Tubbs, p. 170.
- ^ Burger and Tubbs, p. 172.
- ^ 8.0 8.1 Bugeaud (2012) p.251
- ^ LeVeque (2002) pp.II:174–186
- ^ Burger and Tubbs, p. 182.
- ^ Burger and Tubbs, p. 163.
- ^ 12.0 12.1 Baker (1975) p.87
- ^ Baker(1979), p. 90.
参见
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| 可数集 |
- 自然数 (
)
- 整数 (
)
- 有理数 (
)
- 规矩数
- 代数数 (
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- 周期
- 可计算数
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- 可除代数:实数 (
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- 复数 (
)
- 四元数 (
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- 八元数 (
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