罗德里格公式
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罗德里格公式(英语:Rodrigues' formula),旧称为艾沃里–雅可比公式,是一个关于勒壤得多项式的公式,分别被 欧林 罗德里格 (1816),詹姆斯 艾沃里 (1824)及卡尔 雅可比 (1827)所独立发现。在埃尔米特于1865年指出罗德里格是第一个发现的人后,Heine在1878年建议使用“罗德里格公式”此名称。此名称亦被用于其它正交多项式的相似公式中。Askey (2005)详述了罗德里格公式的历史。
叙述
令为一正交多项式序列,并满足以下条件: 其中 为权函数,为与有关之常数,则是克罗内克δ函数。如果权函数满足以下微分方程(又称Pearson微分方程): 其中 为次数最高为一的多项式,为次数最高为二的多项式;且以下极限成立: 那么我们可以证明满足以下递回关系式 其中为常数。此关系式称为“罗形公式”或是简称为“罗德里格公式”[1]
罗形公式最常见的应用为勒壤得多项式、拉盖尔多项式和埃尔米特多项式。
对勒壤得多项式,罗德里格描述他的公式如下:
拉盖尔多项式通常被记为L0, L1, ⋯⋯,其罗形公式可被写为:
埃尔米特多项式的罗德里格公式则为:
其他从史特姆-莱欧维尔方程所得之正交函数序列也有类似的公式,这些公式也被称为罗德里格公式(或是罗形公式),特别是所得函数为多项式时。
参考资料
- ^ Rodrigues formula – Encyclopedia of Mathematics. www.encyclopediaofmath.org. [2018-04-18]. (原始内容存档于2018-04-18) (英语).
- Askey, Richard, The 1839 paper on permutations: its relation to the Rodrigues formula and further developments, Altmann, Simón L.; Ortiz, Eduardo L. (编), Mathematics and social utopias in France: Olinde Rodrigues and his times, History of mathematics 28, Providence, R.I.: American Mathematical Society: 105–118, 2005, ISBN 978-0-8218-3860-0
- 艾沃里, 詹姆斯, On the Figure Requisite to Maintain the Equilibrium of a Homogeneous Fluid Mass That Revolves Upon an Axis, Philosophical Transactions of the Royal Society of London (The Royal Society), 1824, 114: 85–150, JSTOR 107707, doi:10.1098/rstl.1824.0008
- 雅可比, C. G. J., Ueber eine besondere Gattung algebraischer Functionen, die aus der Entwicklung der Function (1 − 2xz + z2)1/2 entstehen., Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 1827, 2: 223–226 [2022-12-29], ISSN 0075-4102, S2CID 120291793, doi:10.1515/crll.1827.2.223, (原始内容存档于2022-12-29) (German)
- 约翰·J·奥康纳; 埃德蒙·F·罗伯逊, Olinde Rodrigues, MacTutor数学史档案 (英语)
- 罗德里格, 欧林, De l'attraction des sphéroïdes, Correspondence sur l'École Impériale Polytechnique, (Thesis for the Faculty of Science of the University of Paris), 1816, 3 (3): 361–385