格尔斯滕哈伯代数

格爾斯滕哈伯代数是Gerstenhaber在研究结合代数的形变时发现的。一个结合代数的形变跟它的Hochschild上复形有密切的关系，Gerstenhaber证明，Hochschild上复形实际上形成一个微分分次李代数，并且这个微分分次李代数完全控制了该结合代数的形变。Gerstenhaber的研究受到小平邦彦（Kodaira）-Spencer关于流形复结构形变研究的启发，这些思想后来由Deligne和Kontsevich等人加以系统完成。

在下面后4个例子中，例2和例3是1990年代之前发现的，1993年，Deligne在给一些数学家的通信中猜测它们之间也许是有关系的，用数学语言表述，即：对任何一个结合代数，其Hochschild上复形是little disks operad的链(chain) operad上的代数。这就是著名的Deligne猜想，最后由Kontsevich-Soibelman^[1]，McClure-Smith^[2]，Tamarkin^[3]和Voronov^[4]等人解决。Deligne猜想的证明涉及到了很多高深的数学工具，而这些工具都与拓扑共形场论有着密切的联系，因而引起了很多人的兴趣。

稍后，在1997年，Chas和Sullivan的研究论文发表了名为弦拓扑的论文^[5]，发现了例5。他们的研究结果引起了数学家们很大的关注和进一步的研究，从而开辟了一门崭新的学科。

最后，需要补充的是，关于Gerstenhaber代数的研究往往伴随着Batalin-Vilkovisky代数（简称BV代数）的研究。BV代数是一类特殊的Gerstenhaber代数，往往由Gerstenhaber代数里面的某种对称性而得到，如^[6]^[5]。

定义

设 $\;V\;$ 是数域 $\;k\;$ 上的一个分次向量空间。 $\;V\;$ 上的一个格尔斯滕哈伯代数结构是三元组 $(V,\bullet ,[\;,\;])$ ，满足以下关系：

$\;(V,\bullet )\;$ 是 $\;k\;$ 上的分次、交换、结合的代数；
$\;(V,[\;,\;])\;$ 是李括号次数为 -1 的分次李代数；
李括号对其两个变元都是乘积 $\;\bullet \;$ 的导子，即对任给 $a,b,c\in V$ ，

[a,b\bullet c]=[a,b]\bullet c+(-1)^{|b|(|a|-1)}b\bullet [a,c].

有些文献也把格尔斯滕哈伯代数称为辫代数（braid algebra）。

例子

下面是一些Gerstenhaber代数的例子，因为构造都比较复杂，因此只列出结果，有兴趣的读者可以参考所给文献资料：

设 $\;{\mathfrak {g}}\;$ 是一个李代数，记 $\;\Lambda {\mathfrak {g}}\;$ 为其所对应的链复形，则在其上有一个自然的Gerstenhaber代数结构，乘法由外积给出，李括号为从 $\;{\mathfrak {g}}\;$ 上诱导的李括号给出（这是一个比较平凡的例子，因此一般人并不重点讨论，但它在构造Gerstenhaber代数的同伦论中非常重要）；
设 $\;A\;$ 是数域 $\;k\;$ 上的结合代数，Gerstenhaber证明： $\;A\;$ 的霍赫希尔德上同调形成一个Gerstenhaber代数^[7]；
记 $\;D\;$ 为little disks operad，Cohen证明： $\;D\;$ 的同调群形成一个Gerstenhaber代数^[8]；
Lian和Zuckerman证明了，在弦理论的背景（background，指从弦理论里面抽象出来的代数结构）中，存在一个Gerstenhaber代数结构^[6]；
设 $\;M\;$ 是一个紧致光滑的流形， $\;LM\;$ 是它的自由环路空间（free loop space）。Chas和Sullivan证明： $\;LM\;$ 的同调群形成一个Gerstenhaber代数^[5]。

參見

参考资料

^ Kontsevich, M. and Soibelman, Y., Deformations of algebras over operads and the Deligne conjecture. Conférence Moshé Flato 1999, Vol. I (Dijon), 255-307, Math. Phys. Stud., 21, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2000.
^ McClure, J.E. and Smith, J.H., A solution of Deligne's Hochschild cohomology conjecture. Recent progress in homotopy theory (Baltimore, MD, 2000), 153-193, Contemp. Math., 293, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2002.
^ Tamarkin, D., Formality of chain operad of small squares, arxiv: math.QA/9809164
^ Voronov, A.A., Homotopy Gerstenhaber algebras. Conférence Moshé Flato 1999, Vol. II (Dijon), 307-331, Math. Phys. Stud., 22, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2000.
^ ^5.0 ^5.1 ^5.2 Chas, M. and Sullivan, D., String topology, arXiv: math-GT/9911159.
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^ Gerstenhaber, M., The cohomology structure of an associative ring. Ann. of Math. (2) 78, 1963, 267-288.
^ Cohen, F.R., The homology of $\;C_{n+1}\;$ -spaces, $\;n\geq 1\;$ , in The homology of iterated loop spaces, Lecture Notes in Math., vol. 533, Springer-Verlag, 1976, 207-351.

[1] Kontsevich, M. and Soibelman, Y., Deformations of algebras over operads and the Deligne conjecture. Conférence Moshé Flato 1999, Vol. I (Dijon), 255-307, Math. Phys. Stud., 21, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2000.

[2] McClure, J.E. and Smith, J.H., A solution of Deligne's Hochschild cohomology conjecture. Recent progress in homotopy theory (Baltimore, MD, 2000), 153-193, Contemp. Math., 293, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2002.

[ta-3] Tamarkin, D., Formality of chain operad of small squares, arxiv: math.QA/9809164

[vo-4] Voronov, A.A., Homotopy Gerstenhaber algebras. Conférence Moshé Flato 1999, Vol. II (Dijon), 307-331, Math. Phys. Stud., 22, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2000.

[cs-5] 5.0 ^5.1 ^5.2 Chas, M. and Sullivan, D., String topology, arXiv: math-GT/9911159.

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[ger-7] Gerstenhaber, M., The cohomology structure of an associative ring. Ann. of Math. (2) 78, 1963, 267-288.

[co-8] Cohen, F.R., The homology of $\;C_{n+1}\;$ -spaces, $\;n\geq 1\;$ , in The homology of iterated loop spaces, Lecture Notes in Math., vol. 533, Springer-Verlag, 1976, 207-351.

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