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映射锥

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映射锥示意图

数学,特别是同伦论中,映射锥mapping cone)是一个拓扑构造 。它也称为同伦上纤维homotopy cofiber),也记成

定义

给定映射 ,映射锥 定义为 关于等价关系 , 商拓扑空间。这里 表示带标准拓扑的单位区间 [0,1]。注意有些人(比如乔·彼得·梅)使用相反的约定,交换 0 与 1 的地位。

以圆周为例

如果 圆周 S1Cf 可以视为 Y圆盘 D2不交并D2边界上的点 xY 中的点 f(x) 等价起来得到的商空间

比如考虑当 Y 是圆盘 D2 的情形,映射

f: S1Y = D2

S1 作为 D2 边界的标准包含。则映射锥 Cf 同胚于把两个圆盘连接起来,拓扑上就是球面 S2 也是通常的带底圆锥面。

双映射柱

映射锥是双映射柱的特例。双映射柱是一个圆柱的一个底与空间 X1 通过映射

f1: S1X1

黏贴,而另一个底与空间 X2 通过映射

f2: S1X2.

黏贴。映射锥是双映射锥(也称为拓扑推出)的退化情形,其中一个空间是一个单点。

应用

CW-复形

CW-复形经常通过映射锥添加一个胞腔

对基本群的影响

给定空间 X 与环路

代表了 X基本群中的一个元素,我们可构造一个映射锥 Cα。其效果是使得环路 αCα可缩,从而 αCα 的基本群中的等价类单位元素

给一个有生成子与关系呈示的群,我们得到了一个具有那个基本群的 2-复形。

空间偶的同调

映射锥将空间偶同调变成商空间的简约同调:

如果 E 是一个同调理论 是一个包含,则 ,对映射锥使用切除定理可得到[1]

另见

引用

  1. ^ Peter May "A Concise Course in Algebraic Topology", section 14.2 (PDF). [2008-12-05]. (原始内容存档 (PDF)于2020-11-09). 

參考文獻