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佩龙公式

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数学或更具体地,其分支解析数论中,佩龙公式(英語:Perron's formula)源自德國數學家奥斯卡·佩龙,是利用逆梅林变换来计算算术函数的和。

定理陈述

为一算术函数,并令

为其对应的狄利克雷级数。假设这狄利克雷级数对 一致收敛,那么佩龙公式为:

此处求和符号上的一撇表示当x是整数时,和式中最后一项要乘以1/2。这个积分不是收敛的勒贝格积分,应当理解为柯西主值。这个公式要求 c > 0, c > σ 和实数x > 0,但除以上条件以外别无限制。

证明

阿贝尔求和公式可以得到一个简单的证明梗概:

这不过是在变量代换下的拉普拉斯变换,运用拉普拉斯变换的反转公式就能得到佩龙公式。

例子

由于和狄利克雷级数的关系,佩龙公式常被用于解析数论中的求和。例如我们对黎曼ζ函数有如下的著名积分表示:

对于狄利克雷L函数也有类似的公式:

其中

狄利克雷特征.

参考文献