伯特蘭定理

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約瑟·伯特蘭

在經典力學裏，伯特蘭定理闡明，只有兩種位勢$V$可以給出閉合軌道：

• 平方反比連心力給出的連心勢，像重力勢或靜電勢，以方程式表示為

$V(r)={\frac {-k}{r}}$。

• 徑向諧振子勢：

$V(r)={\frac {1}{2}}kr^{2}$。

其中，$r$是徑向座標，$k$是正值常數。假若物體從某位置移動，經過一段路徑後，又回到原先位置，則稱此路徑為閉合軌道。

1687年，物理学家艾薩克·牛頓在著作《自然哲學的數學原理》裏提出了萬有引力定律，解釋了行星繞著太陽的公轉为何遵守克卜勒定律。此后許多科學家開始研究，當行星的運動稍許偏離了這軌道時，可能會發生的狀況。其中一個問題為軌道是否仍舊閉合。但經過多年的探討亦無法給出合理的解答。直到1873年，法國數學家約瑟·伯特蘭發表伯特蘭定理，才正確解析此問題。该定理對於經典天體力學研究非常重要，伯特蘭定理給予實驗者一個精確的方法，來測試萬有引力的平方反比性質。

在現代物理學裏，理論物理學家發現由於廣義相對論效應，引力與距離不再成精確的平方反比關係，因此軌道是非閉合的。天文學家作實驗觀測到，水星繞著太陽公轉的橢圓軌道，其近拱點呈緩慢進動狀態。

前論

所有吸引性連心力都可以產生圓形的公轉軌道；這圓形軌道當然是閉合軌道；其形成的唯一條件是連心力恰巧地與離心力等值；後者決定了維持某圓形半徑所需的角速度。本篇文章不研究非連心力。一般而言，非連心力不會產生圓形的公轉軌道。

採用極坐標$(r,\theta )$，一個移動於連心勢$V(r)$的粒子，其拉格朗日量${\mathcal {L}}$是

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}mr^{2}{\dot {\theta }}^{2}-V(r)$。

其中，$m$是粒子質量，${\dot {r}}$、${\dot {\theta }}$分別表示$r$、$\theta$對於時間$t$的導數。

這粒子的拉格朗日方程式為

$m{\ddot {r}}-mr{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {dV}{dr}}=0$、

${\frac {d}{dt}}(mr^{2}{\dot {\theta }})=0$。

由於角坐標$\theta$顯性地跟拉格朗日量無關，$\theta$是個可略坐標，其共軛動量（角動量）$\ell$守恆，$\ell$是個常數：

$\ell ={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\theta }}}}=mr^{2}{\dot {\theta }}$。

將角動量的方程式代入徑向拉格朗日方程式，可以得到一個$r$的二次微分方程式，

$m{\ddot {r}}-{\frac {\ell ^{2}}{mr^{3}}}+{\frac {dV}{dr}}=0$。

假設軌道是圓形軌道，方程式左手邊第一個項目是零，則如同期待的，連心力$-{\frac {dV}{dr}}$等值於離心力$-{\frac {\ell ^{2}}{mr^{3}}}$。

對於時間的導數與對於角變數的導數之間關係為

${\frac {d}{dt}}={\frac {\ell }{mr^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}$。

將這公式代入，可推導出一個跟角度有關，跟時間無關的軌道方程式：

${\frac {\ell }{r^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {\ell }{mr^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}\right)-{\frac {\ell ^{2}}{mr^{3}}}=-{\frac {dV}{dr}}$。

設定變數$u={\frac {1}{r}}$，改換方程式的變數為$u$，同時將方程式兩邊乘以${\frac {m}{\ell ^{2}u^{2}}}$，可以得到一個常係數非齊次線性全微分方程式：

${\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{\ell ^{2}}}{\frac {d}{du}}V(1/u)$。

導引

如同前面所說，給予粒子適當的初始速度，任何連心力都能產生標準圓形軌道。可是，假設給予粒子某徑向速度，則這些軌道可能不穩定（穩定在這裏定義為長久地公轉於同一條軌道），也可能不閉合。本段落會證明，穩定的閉合軌道只發生於平方反比連心勢或徑向諧振子勢（一個必要條件）。下一個段落會證明，這些位勢的確會產生穩定的閉合軌道（一個充分條件）。

為了簡化標記，設定

$J(u)=-{\frac {m}{\ell ^{2}}}{\frac {d}{du}}V(1/u)=-{\frac {m}{\ell ^{2}u^{2}}}f(1/u)$；(1)

其中，$f(1/u)$是連心力函數。

則軌道方程式為

${\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=J(u)$。

如果要得到半徑為$r_{0}\equiv {\frac {1}{u_{0}}}$的圓形運動軌道，必要條件是軌道方程式左邊第一項等於零，方程式變為

$u_{0}=J(u_{0})$。

思考對於標準圓形運動軌道的變數$u$的微擾$\eta \equiv u-u_{0}$，函數$J(u)$在$u_{0}$的泰勒級數為

$J(u)\approx u_{0}+\eta J^{\prime }(u_{0})+{\frac {1}{2}}\eta ^{2}J^{\prime \prime }(u_{0})+{\frac {1}{6}}\eta ^{3}J^{\prime \prime \prime }(u_{0})+\ldots$。

將此展開示代入軌道方程式：

${\frac {d^{2}\eta }{d\theta ^{2}}}+\eta =\eta J^{\prime }(u_{0})+{\frac {1}{2}}\eta ^{2}J^{\prime \prime }(u_{0})+{\frac {1}{6}}\eta ^{3}J^{\prime \prime \prime }(u_{0})\ldots$。

設定常數$\beta ^{2}\equiv 1-J^{\prime }(u_{0})$（$\beta =0$的解答為標準圓形運動軌道）：

${\frac {d^{2}\eta }{d\theta ^{2}}}+\beta ^{2}\eta ={\frac {1}{2}}\eta ^{2}J^{\prime \prime }(u_{0})+{\frac {1}{6}}\eta ^{3}J^{\prime \prime \prime }(u_{0})\ldots$。(2)

取至$\eta$的1次方：

${\frac {d^{2}\eta }{d\theta ^{2}}}+\beta ^{2}\eta =0$。

$\beta ^{2}$必須是個非負數；否則，軌道的半徑會呈指數方式遞增。一階微擾解答為

$\eta (\theta )=h_{1}\cos(\beta \theta )$；

其中，振幅$h_{1}$是個積分常數。

假若這軌道是閉合軌道，則$\beta$必須是有理數。繼續運算，從方程式(1)，取對於$u$的導數：

${\begin{aligned}J^{\prime }(u_{0})&=-{\frac {m}{\ell ^{2}}}\left(-\left.{\frac {2f(1/u)}{u^{3}}}\right|_{u_{0}}+\left.{\frac {1}{u^{2}}}{\frac {df(1/u)}{du}}\right|_{u_{0}}\right)\\&=-\left.{\frac {2J(u)}{u}}\right|_{u_{o}}+{\frac {J(u)}{f(1/u)}}\left.{\frac {df}{du}}\right|_{u_{0}}=-2+{\frac {u_{0}}{f(1/u_{0})}}\left.{\frac {df}{du}}\right|_{u_{0}}=1-\beta ^{2}\\\end{aligned}}$ 。

這方程式對於任意$u_{0}$值都必須成立，因此可以將$u_{0}$認定為函數$\left.{\frac {df}{du}}\right|_{u_{0}}$的參數。用符號$u$來代替$u_{0}$，

${\frac {df}{du}}=-(\beta ^{2}-3){\frac {f(1/u)}{u}}$。

將方程式的變數換回為$r$，

${\frac {df}{dr}}=\left(\beta ^{2}-3\right){\frac {f}{r}}$。

這意味著作用力必須遵守冪定律：

$f(r)=-{\frac {k}{r^{3-\beta ^{2}}}}$。

代入方程式 (1) , $J$的一般形式為

$J(u)={\frac {mk}{\ell ^{2}}}u^{1-\beta ^{2}}$。(3)

假設實際軌道與圓形有更大的差別（也就是說，不能忽略$J$函數的泰勒級數的更高次方項目），則可以用傅立葉級數來展開$\eta$：

$\eta (\theta )=h_{0}+h_{1}\cos(\beta \theta )+h_{2}\cos(2\beta \theta )+h_{3}\cos(3\beta \theta )+\ldots$。

因為高頻率項目的係數太小，傅立葉級數只取至$3\beta$項目。方程式 (2)也只取至$\eta$的三次方。注意到$h_{0}$與$h_{2}$的數量級為$h_{1}^{2}\!$，超小於$h_{1}$；$h_{3},\!$的數量級為$h_{1}^{3}$，超小於$h_{0}$與$h_{2}$。將上述傅立葉級數代入方程式 (2)，匹配方程式兩邊同頻率項目的係數。這樣，可以得到一系列方程式：

$h_{0}=h_{1}^{2}{\frac {J^{\prime \prime }(u_{0})}{4\beta ^{2}}}$，(4)

$0=(2h_{1}h_{0}+h_{1}h_{2}){\frac {J^{\prime \prime }(u_{0})}{2}}+h_{1}^{3}{\frac {J^{\prime \prime \prime }(u_{0})}{8}}$，(5)

$h_{2}=-h_{1}^{2}{\frac {J^{\prime \prime }(u_{0})}{12\beta ^{2}}}$。(6)

求$J(u)$在$u_{0}$對於$u$的微分：

$J^{\prime }(u_{0})=(1-\beta ^{2}){\frac {mk}{\ell ^{2}}}u_{0}^{-\beta ^{2}}=1-\beta ^{2}$

$J^{\prime \prime }(u_{0})=(1-\beta ^{2})(-\beta ^{2}){\frac {mk}{\ell ^{2}}}u_{0}^{-\beta ^{2}-1}=-{\frac {\beta ^{2}(1-\beta ^{2})}{u_{0}}}$。(7)

$J^{\prime \prime \prime }(u_{0})=(1-\beta ^{2})(-\beta ^{2})(-\beta ^{2}-1){\frac {mk}{\ell ^{2}}}u_{0}^{-\beta ^{2}-2}={\frac {\beta ^{2}(1-\beta ^{2})(1+\beta ^{2})}{u_{0}^{2}}}$。(8)

將方程式(7)、(8)代入方程式(4)、(6)：

$h_{0}=-{\frac {(1-\beta ^{2})h_{1}^{2}}{4u_{0}}}$，(9)

$h_{2}={\frac {(1-\beta ^{2})h_{1}^{2}}{12u_{0}}}$。(10)

再將方程式 (7)、(8)、(9)、(10)代入方程式 (5)，經過一番運算，可以得到伯特蘭定理的重要結果：

$\beta ^{2}(1-\beta ^{2})(4-\beta ^{2})=0$。

解答$\beta =0$是標準圓形軌道。只有平方反比連心勢 ($\beta =1$)與徑向諧振子勢 ($\beta =2$)能夠造成穩定的，閉合的，非圓形的公轉軌道。

平方反比力（克卜勒問題）

平方反比連心力給出的連心勢，像重力勢或靜電勢，以方程式表示為

$V(\mathbf {r} )={\frac {-k}{r}}=-ku$。

處於這種連心勢的粒子，其一般軌道方程式寫為

${\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{\ell ^{2}}}{\frac {d}{du}}V(1/u)={\frac {km}{\ell ^{2}}}$。

其解答為軌道函數$u(\theta )$：

$u={\frac {km}{\ell ^{2}}}\left[1+e\cos \left(\theta -\theta _{0}\right)\right]$；

其中，$e$是橢圓軌道的離心率，$\theta _{0}$是相位差，是一個積分常數。

這是焦點位於原點的圓錐曲線的一般方程式。當$e=0$時，這軌道對應於圓形軌道； 當$e<1$時，這軌道是橢圓形軌道；當$e=1$時，這軌道是拋物線軌道；當$e>1$時，這軌道是雙曲線軌道。

離心率與粒子能量$E$的關係為

$e={\sqrt {1+{\frac {2E\ell ^{2}}{k^{2}m}}}}$。

所以，當$E=-{\frac {k^{2}m}{2\ell ^{2}}}$時，這軌道是圓形軌道； 當$E<0$時，這軌道是橢圓形軌道；當$E=0$時，這軌道是拋物線軌道；當$E>0$時，這軌道是雙曲線軌道。

徑向諧振子

為了方便解析這問題，採用直角坐標$\mathbf {r} =(x,y,z)$。勢能可以寫為

$V(\mathbf {r} )={\frac {1}{2}}kr^{2}={\frac {1}{2}}k(x^{2}+y^{2}+z^{2})$。

處於徑向諧振子位勢的粒子，其拉格朗日量${\mathcal {L}}$是

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2})+{\frac {1}{2}}k(x^{2}+y^{2}+z^{2})$。

這粒子的拉格朗日方程式為

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}x=0$、

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}y=0$、

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}z=0$；

其中，$\omega _{0}=k/m$是振動頻率。

常數$k$必須為正值；否則，粒子會朝著無窮遠飛離。這些微分方程式的解答為

$x=A_{x}\cos \left(\omega _{0}t+\phi _{x}\right)$、

$y=A_{y}\cos \left(\omega _{0}t+\phi _{y}\right)$、

$z=A_{z}\cos \left(\omega _{0}t+\phi _{z}\right)$；

其中，$A_{x}$、$A_{y}$、$A_{z}$分別為x、y、z方向的振幅，$\phi _{x}$、$\phi _{y}$、$\phi _{z}$分別為其相位

由於上述方程式經過整整一周期$T\equiv {2\pi }/{\omega _{0}}$後，會重複自己，軌道解答$\mathbf {r} (t)=\left[x(t),y(y),z(t)\right]$是閉合軌道。

牛頓旋轉軌道定理

牛頓旋轉軌道定理表明，對於一個感受到線性作用力或平方反比作用力的移動中的粒子，假設再增添立方反比力於此粒子，只要因子$\alpha$是有理數，則粒子的軌道仍舊是閉合軌道。根據牛頓旋轉軌道定理的方程式，增添的立方反比力$\Delta F(r)={\frac {k}{r^{3}}}$為

$\Delta F(r)={\frac {L_{1}^{2}}{mr^{3}}}\left(1-\alpha ^{2}\right)$；

其中，$\ell _{1}$是粒子原本的角動量，$m$是粒子的質量。

所以，$\alpha ^{2}=1-{\frac {mk}{\ell _{1}^{2}}}$。

由於$\alpha$是有理數，$\alpha$可以寫為分數$m/n$；其中，$m$和$n$都是整數。對於這案例，增添立方反比力使得粒子完成$m$圈公轉的時間等於原本完成$n$圈公轉的時間。這種產生閉合軌道的方法不違背伯特蘭定理，因為，增添的立方反比力與粒子的原本角動量有關。

參閱

• 二體問題
• 三體問題
• 克卜勒定律
• 牛頓旋轉軌道定理

參考文獻

Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 89–92. ISBN 0201657023 （英语）.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

Grandati, Yves; Bérard, Alain, Inverse problem and Bertrand's theorem, American Journal of Physics, August 2008, 76 (8): pp. 782–787  引文格式1维护：冗余文本 (link)

Tikochinsky, Yoel, A simplified proof of Bertrand's theorem, American Journal of Physics, December 1988, 56 (12): pp. 1063–1157  引文格式1维护：冗余文本 (link)

Zarmi, Yair, The Bertrand theorem revisited, American Journal of Physics, April 2002, 70 (4): pp. 446–449  引文格式1维护：冗余文本 (link)