在数学 中，矩阵 的平方根平方根 概念的推广。对一个矩阵A ，如果矩阵B 满足
B
⋅
B
=
A
{\displaystyle B\cdot B=A}
那么矩阵B 就是A 的一个平方根。
与算术中的平方根概念不同，矩阵的平方根不一定只有两个。然而依照矩阵平方根的概念以及矩阵乘法 的定义，只有方块矩阵 才有平方根。[ 1]
如果矩阵的系数域是代数闭域 ，比如说复数 域
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
对角矩阵 ，其平方根是很容易求得的。只需要将对角线上的每一个元素都换成它的平方根就可以了。这种思路可以推广到一般的可对角化矩阵 A 是指可以通过相似变换 成为对角矩阵D 的矩阵：
∃
P
,
A
=
P
D
P
−
1
{\displaystyle \exists P,\quad A=PDP^{-1}}
其中的矩阵P 是可逆 的矩阵。在这种情况之下，假设矩阵D 的形式是：
D
=
[
d
1
0
0
⋯
0
0
d
2
0
⋯
0
⋮
0
⋱
0
⋮
0
⋯
0
d
n
−
1
0
0
⋯
0
0
d
n
]
{\displaystyle D={\begin{bmatrix}d_{1}&0&0&\cdots &0\\0&d_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &0&\ddots &0&\vdots \\0&\cdots &0&d_{n-1}&0\\0&\cdots &0&0&d_{n}\end{bmatrix}}}
那么矩阵A 的平方根就是：
A
1
2
=
P
D
1
2
P
−
1
{\displaystyle A^{\frac {1}{2}}=PD^{\frac {1}{2}}P^{-1}}
其中的
D
1
2
{\displaystyle D^{\frac {1}{2}}}
D
1
2
=
[
d
1
0
0
⋯
0
0
d
2
0
⋯
0
⋮
0
⋱
0
⋮
0
⋯
0
d
n
−
1
0
0
⋯
0
0
d
n
]
{\displaystyle D^{\frac {1}{2}}={\begin{bmatrix}{\sqrt {d_{1}}}&0&0&\cdots &0\\0&{\sqrt {d_{2}}}&0&\cdots &0\\\vdots &0&\ddots &0&\vdots \\0&\cdots &0&{\sqrt {d_{n-1}}}&0\\0&\cdots &0&0&{\sqrt {d_{n}}}\end{bmatrix}}}
[ 2]
另一种计算矩阵平方根的方法是丹曼-毕福斯迭代算法。在计算一个
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
A 的平方根时，先设矩阵
Y
0
=
A
{\displaystyle Y_{0}=A}
Z
0
=
I
n
{\displaystyle Z_{0}=I_{n}}
I
n
{\displaystyle I_{n}}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
单位矩阵 ）。然后用以下的迭代公式计算矩阵序列
(
Y
k
)
k
⩾
0
{\displaystyle \left(Y_{k}\right)_{k\geqslant 0}}
(
Z
k
)
k
⩾
0
{\displaystyle \left(Z_{k}\right)_{k\geqslant 0}}
Y
k
+
1
=
Y
k
+
Z
k
−
1
2
{\displaystyle Y_{k+1}={\frac {Y_{k}+Z_{k}^{-1}}{2}}}
Z
k
+
1
=
Z
k
+
Y
k
−
1
2
{\displaystyle Z_{k+1}={\frac {Z_{k}+Y_{k}^{-1}}{2}}}
这样的两个序列将会收敛 到两个矩阵
Y
{\displaystyle Y}
Z
{\displaystyle Z}
Y
{\displaystyle Y}
Z
{\displaystyle Z}
Y
{\displaystyle Y}
Cheng, Sheung Hun; Higham, Nicholas J. ; Kenney, Charles S.; Laub, Alan J., Approximating the Logarithm of a Matrix to Specified Accuracy (PDF) , SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 2001, 22 (4): 1112–1125, doi:10.1137/S0895479899364015 原始内容 (PDF) 存档于2011-08-09） Denman, Eugene D.; Beavers, Alex N., The matrix sign function and computations in systems, Applied Mathematics and Computation, 1976, 2 (1): 63–94, doi:10.1016/0096-3003(76)90020-5 
