海伦公式(英語:Heron's formula或Hero's formula),又譯希罗公式[1]。由古希臘數學家亞歷山大港的希羅發現,並在其於公元60年所著的《Metrica》中載有數學證明,原理是利用三角形的三條邊長求取三角形面積。亦有認為更早的阿基米德已經了解這條公式,因为《Metrica》是一部古代數學知識的結集,该公式的發現時間很有可能先於希羅的著作。[2]
假設有一個三角形,邊長分別為
,三角形的面積
可由以下公式求得:
,其中![{\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/787a98dac5681f383514fc1bd5b4d8e561a3fd21)
中国南宋末年數學家秦九韶发现或知道等價的公式,其著作《數書九章》卷五第二题即三斜求积。“问沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里,里法三百步,欲知为田几何?”答曰:“三百十五顷.”其术文是:“以小斜幂併大斜幂,減中斜幂,餘半之,自乘於上;以小斜幂乘大斜幂,減上,餘四約之,爲實,一為從隅,開平方,得積。”若以大斜记为
,中斜记为
,小斜记为
,秦九韶的方法相当于下面的一般公式:
,其中![{\displaystyle a\geq b\geq c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a82e6284fedb32392e7cd3a5d0284907898bb0a)
像其他中國古代的數學家一样,他的方法沒有證明。根據现代數學家吴文俊的研究,秦九韶公式可由出入相補原理得出。
由於任何
边的多邊形都可以分割成
个三角形,所以海伦公式可以用作求多邊形面積的公式。比如说测量土地的面积的时候,不用测三角形的高,只需测两点间的距离,就可以方便地导出答案。
证明
利用三角公式和代数式变形来证明
与希羅在他的著作《Metrica》中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边
的对角分别为
,则余弦定理为
![{\displaystyle \cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90d013f8ae80e83f4fe4a843989cb3bab8bfc5e0)
利用和平方、差平方、平方差等公式,从而有
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin C&={\sqrt {1-\cos ^{2}C}}\\&={\sqrt {(1+\cos C)(1-\cos C)}}\\&={\sqrt {\left(1+{\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)\left(1-{\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)}}\\&={\sqrt {\left[{\frac {(a+b)^{2}-c^{2}}{2ab}}\right]\left[{\frac {c^{2}-(a-b)^{2}}{2ab}}\right]}}\\&={\frac {\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)}}{2ab}}\\&={\frac {\sqrt {(2s)(2s-2c)(2s-2b)(2s-2a)}}{2ab}}\\&={\frac {2}{ab}}{\sqrt {s(s-c)(s-b)(s-a)}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95b3ef2caa93db677cfa147b18e43e4018d9609f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}ab\sin C\\&={\frac {ab}{2}}\cdot {\frac {2}{ab}}{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\\&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ceaa2802798acb26663a184abdc14ecaa1f23cf5)
利用勾股定理和代数式变形来证明
![{\displaystyle b^{2}=h^{2}+d^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15a0f7ad5c50ad94fcd4128c77068a704b49519e)
![{\displaystyle a^{2}=h^{2}+(c-d)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9708cb99d2c91911577e2de3c24cd368c381d13)
![{\displaystyle a^{2}-b^{2}=c^{2}-2cd}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d814adb63d63d1852765e23a60a589db17cb309c)
![{\displaystyle d={\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8dcb715492c07b74a8e4aa5c24b81a04d9811f4)
![{\displaystyle {\begin{aligned}h^{2}&=b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)^{2}\\&={\frac {(2bc-a^{2}+b^{2}+c^{2})(2bc+a^{2}-b^{2}-c^{2})}{4c^{2}}}\\&={\frac {((b+c)^{2}-a^{2})(a^{2}-(b-c)^{2})}{4c^{2}}}\\&={\frac {(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}{4c^{2}}}\\&={\frac {2(s-a)\cdot 2s\cdot 2(s-c)\cdot 2(s-b)}{4c^{2}}}\\&={\frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31b84a229e3a0ca622f95fb4de1a6840c5522e21)
![{\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {ch}{2}}\\&={\sqrt {{\frac {c^{2}}{4}}\cdot {\frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^{2}}}}}\\&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d196fa4bd0844cb46e2db39e1664797b39956fe)
用旁心來證明
設
中,
。
為內心,
為三旁切圓。
四點共圓,並設此圓為圓
。
- 過
做鉛直線交
於
,再延長
,使之與圓
交於
點。再過
做鉛直線交
於
點。
- 先證明
為矩形:
,又
(圓周角相等)。
為矩形。因此,
。
內切圓半徑
,
旁切圓半徑
。且易知
。由圓冪性質得到:
。故![{\displaystyle {\frac {a+b-c}{2}}\times {\frac {c+a-b}{2}}={\frac {\bigtriangleup }{\frac {a+b+c}{2}}}\times {\frac {\bigtriangleup }{\frac {b+c-a}{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/632c6dd7b66d149c0f0d55b98f1ad3be702229e0)
![{\displaystyle \Rightarrow \bigtriangleup ={\sqrt {{\frac {a+b+c}{2}}\times {\frac {b+c-a}{2}}\times {\frac {a+c-b}{2}}\times {\frac {a+b-c}{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d771eccab395176faabfd85426ce8b8703a17c21)
資料來源
參見
外部連結