整函数(英語:Entire function)是在整个复平面上全纯的函数。典型的例子有多项式函数、指数函数、以及它们的和、积及复合函数。每一个整函数都可以表示为处处收敛的幂级数。而对数函数和平方根都不是整函数。
整函数
的阶可以用上极限定义如下:
![{\displaystyle \rho =\limsup _{r\rightarrow \infty }{\frac {\ln(\ln(M(r)))}{\ln(r)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0e9d849a9a0545d09637f281ac700b46c12a74a)
其中
是到
的距离,
是
时
的最大绝对值。如果
,我们也可以定义它的类型:
![{\displaystyle \sigma =\limsup _{r\rightarrow \infty }{\frac {\ln(M(r))}{r^{\rho }}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f20dad83b7677dac9148d6620934eecbb5660fcf)
整函数在无穷远处可能具有奇点,甚至是本性奇点,这时该函数便称为超越整函数。根据刘维尔定理,在整个黎曼球面(复平面和无穷远处的点)上的整函数是常数。
刘维尔定理确立了整函数的一个重要的性质:任何一个有界的整函数都是常数。这个性质可以用来证明代数基本定理。皮卡小定理强化了刘维尔定理,它表明任何一个不是常数的整函数都取遍所有的复数值,最多只有一个值例外,例如指数函数永远不能是零。
参见
参考文献
- Ralph P. Boas. Entire Functions. Academic Press. 1954. OCLC 847696.