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對數平均溫差

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對數平均溫差(logarithmic mean temperature difference)簡稱為LMTD,是在传热流體系統(例如熱交換器中)用來分析溫度推動力的工具。對數平均溫差是在雙管換熱器中冷端及熱端溫度差的對數平均。對數平均溫差越大,表示传热量越大。在分析固定流速及流體熱力學性質的熱交換器時,就會出現對數平均溫差。

定義

先假設有一個泛用的熱交換器,其二端(稱為A及B)分別有熱蒸氣及冷蒸氣進出,對數平均溫差定義為以下的對數平均:

其中

ΔTA是熱蒸氣及冷蒸氣在A端的溫度差。
ΔTB是熱蒸氣及冷蒸氣在B端的溫度差。

依此定義,LMTD可以用來推算熱交換器所傳遞的熱

其中

Q是傳遞的熱(單位 J
U传热系数(單位 J/ K m2
Ar為熱交換面積

不過传热系数的估算可能相當的複雜。

熱交換器的並流(Concurrent)及逆流(countercurrent)

若熱交換器是並流(熱蒸氣及冷蒸氣平行,都從某一側進,從另一側出)或是逆流(熱蒸氣及冷蒸氣平行,但各由一側進,從另一側出),以上的式子都會成立。

若是交叉流(cross-flow)熱交換器,也就是熱交換器中有散熱片,上面的溫度接近定值,其熱交換量和LMTD也會有類似的關係,不過會出現修正係數。若是結構比較複雜的熱交換器(例如殼管式熱交換器英语shell and tube heat exchanger),也會有修正係數。

推導

假設熱傳導是在沿著z軸上,從A點到B點的熱交換器上進行,熱傳導是在二種流體之間交換能量,分別標示為12,沿著z軸的熱量分別是T1(z)和 T2(z)。

沿著z上的局部交換熱通量和其溫度差成正比:

其中D為二流體之間的距離。

流體釋放的熱會依傅立葉定律產生溫度梯度:

相減後,可得

where K=ka+kb.

交換的總能量可以由A點到B點的局部熱交換量q積分而得:

熱交換面積Ar為管長A-B乘以二管間的距離D

二個積分都作變數變換,積分變數由z改為Δ T

配合上述Δ T的關係,可得:

積分的結果如下:

,

也就是對數平均溫差的定義。

假設及限制

  • 假設二流體溫度的變化率和其溫差成正比,這對固定比熱的流體有效,流體的溫度變化若在一個較小的範圍,此假設成立,不過若比熱有變化,用計算對數平均溫差計算的熱交換量就不準了。
  • LMTD不適用在冷凝器再沸器英语reboiler中,其中包括了相變化及其潛熱,因此假設無效。
  • 假設熱傳係數U為定值,和溫度無關,若熱傳係數和溫度有關,計算的準確度也會下降。
  • LMTD是一個穩態的概念,不適用在暫態的分析。特別若LMTD應用在暫態中,其時間較短,熱交換器的二邊溫度梯度的符號相反,對數的引數會出現負值,這也是不允許的。


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參考資料