Δ形電路和Y形電路
Y-Δ變換或稱為星角變換,是一種把Y形電路轉換成等效的Δ形電路,或把Δ形電路轉換成等效的Y形電路的方法。它可以用來簡化電路的分析。這一變換理論是由亞瑟·肯內利於1899年發表。[1]
基本的Y-Δ變換
設R1、R2、和R3分別是Y形電路中從N1、N2、N3到中點的阻抗,Ra、Rb、Rc分別是Δ形電路中N1與N3、N1與N2、N2與N3之間的阻抗。希望把Y形電路換成Δ形電路,或把Δ形電路換成Y形電路後,任意兩個端點之間的阻抗仍然與原來的電路相等。
把Δ形電路變換成Y形電路
變換的基本思路是用
和
計算Y形電路端點的阻抗
,其中
和
是Δ形電路中對應節點到鄰接節點間的阻抗:
![{\displaystyle R_{y}={\frac {R'R''}{\sum R_{\Delta }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a47566c3daa9ca4518f914e9e7d95314cbf3b41)
其中
是Δ形電路的阻抗之和。具體公式如下:
![{\displaystyle R_{1}={\frac {R_{a}R_{b}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f52d8eef99e0e1b19f8fbdea1b36e705c0a841eb)
![{\displaystyle R_{2}={\frac {R_{b}R_{c}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fd5fabf5624f1381da46e94074d3bd40f0e103a)
![{\displaystyle R_{3}={\frac {R_{a}R_{c}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3533e41c0fd7f0d61a078cd27fb4a6061b3eb01f)
口訣為 Y形阻抗 = Δ形同側相鄰阻抗乘積 / Δ形阻抗之和
把Y形電路變換成Δ形電路
變換的基本思路是計算Δ形電路的
:
![{\displaystyle R_{\Delta }={\frac {R_{P}}{R_{\mathrm {opposite} }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f0b4628674e45829b18f0d48d98df08f53ea3ee)
其中
是Y形電路中的阻抗兩兩相乘之和,
是
所在支路對側的端點在Y形電路中對應端點的阻抗。每一支路的阻抗計算公式為:
![{\displaystyle R_{a}={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/720afe750d858a3c0bd1a9111675c9c55c198452)
![{\displaystyle R_{b}={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b383ab48ef4a306178014f3ec8f9185ba0cac351)
![{\displaystyle R_{c}={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2a87c07020912f1c384dfaa1bf0df90ff8e993d)
口訣為 Δ形阻抗 = Y形阻抗兩兩相乘之和 / Y形對側端點阻抗
圖論
在圖論中,Y-Δ變換表示將一個圖的Y形子圖用等價的Δ形子圖代替。變換後的邊數不變,但頂點數和迴路數會變化。如果這兩個圖可以通過一系列的Y-Δ變換互相變換得到,那麼就可以成這兩個圖Y-Δ等價。例如,佩特森圖就是一個Y-Δ等價類。
推導
Δ形負載到Y形負載的變換方程
要將Δ形負載{
}變換成Y形負載{
},需要比較二者對應節點的阻抗。要計算兩種接法的阻抗,需要將電路中的一個節點斷開。
Δ形電路中N3斷開後,N1與N2間的阻抗為
![{\displaystyle {\begin{aligned}R_{\Delta }(N_{1},N_{2})&=R_{b}\parallel (R_{a}+R_{c})\\[8pt]&={\frac {1}{{\frac {1}{R_{b}}}+{\frac {1}{R_{a}+R_{c}}}}}\\[8pt]&={\frac {R_{b}(R_{a}+R_{c})}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ac6b58328c311ce9aa57cefcb4076ead0b04bc2)
將{
}之和用
表示以簡化方程:
![{\displaystyle R_{T}=R_{a}+R_{b}+R_{c}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab35d184eaf89e35c80d41e6c5dc97187853a0cb)
得到
![{\displaystyle R_{\Delta }(N_{1},N_{2})={\frac {R_{b}(R_{a}+R_{c})}{R_{T}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f05ee818a9d706cdc66f3ceeaa9a154cff26e27)
Y形電路中N1與2的對應阻抗為
![{\displaystyle R_{Y}(N_{1},N_{2})=R_{1}+R_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ce127fa7eb21bee2716d3d45fb4537be93c7b6a)
由以上兩式得到:
(1)
同理,對於
與
,也分別有
(2)
(3)
由此,{
}的值可以由以上式子的線性組合(相加或相減)求出。
例如,將式(1)和式(3)相加,然後減去式(2)會得到
![{\displaystyle R_{1}+R_{2}+R_{1}+R_{3}-R_{2}-R_{3}={\frac {R_{b}(R_{a}+R_{c})}{R_{T}}}+{\frac {R_{a}(R_{b}+R_{c})}{R_{T}}}-{\frac {R_{c}(R_{a}+R_{b})}{R_{T}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f33dd22d7bf91b639ad063d035abc50b8e85fe0a)
![{\displaystyle 2R_{1}={\frac {2R_{b}R_{a}}{R_{T}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dba453e6227b69826d4047e7d6fb1f59d41adf8a)
於是
![{\displaystyle R_{1}={\frac {R_{b}R_{a}}{R_{T}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0be54c5be32c662de0e8bcf5990adce13a6092e)
其中
求出所有的阻抗值如下:
(4)
(5)
(6)
Y形負載到Δ形負載的變換方程
令
.
則Δ形電路到Y形電路的變換方程變為
(1)
(2)
(3)
將以上式子兩兩相乘得到
(4)
(5)
(6)
上式之和為
(7)
將右側式子中的公因式
提出,約去分子中的
和分母中的一個
後得到
![{\displaystyle R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}={\frac {(R_{a}R_{b}R_{c})(R_{a}+R_{b}+R_{c})}{R_{T}^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fe1ec726d99909813e871ac884f88613c317052)
(8)
注意式(8)和式{(1),(2),(3)}的相似性,
將式(8)除以式(1)得到
![{\displaystyle {\frac {R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}{R_{1}}}={\frac {R_{a}R_{b}R_{c}}{R_{T}}}{\frac {R_{T}}{R_{a}R_{b}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14b892db9836c065b9fc48f0cdb8debb1c7eec41)
![{\displaystyle {\frac {R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}{R_{1}}}=R_{c},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aba5a1ed591e32d03d47944b245373e40510b413)
得到
的表達式。同理,將式(8)除以
或
也能得到相應的表達式。
參考文獻
- William Stevenson,「Elements of Power System Analysis 3rd ed.」,McGraw Hill, New York, 1975, ISBN 0-07-061285-4
- ^ A.E. Kennelly, Equivalence of triangles and stars in conducting networks, Electrical World and Engineer, vol. 34, pp. 413-414, 1899.