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使用者:Franklsf95/Sandbox/Pi

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當圓的直徑為1時,其周長便是π

圓周率是一個數學常數,通常以字母π表示。在歐幾里得幾何中,它表示任何一個周長直徑之比。π是一個無理數,因此它的小數展開式永遠不會循環或窮盡。π也是一個超越數,即它不是任何整係數代數方程的根。在十進制中,圓周率的近似值約為:

數學家威廉·瓊斯首先在1707年從希臘文「周長」(περίμετρος)一詞中提取出字母π,用來表示圓周率。隨後萊昂哈德·歐拉於1737年將其推廣[1]。π是數學物理學中最重要的常數之一,大量的科學工程學公式中都用到了π。縱觀數學歷史,曾經有大量的數學家為精確計算π,或了解其本質做出了貢獻。圓周率本身的魅力也因此延伸到了非數學的文化領域中。

基本特徵

定義

周長=π× 直徑

歐幾里得幾何中,圓周率被定義為一個周長直徑的比值[2]。這是一個與直徑大小無關的常數,即對於任何一個圓,總有下述成立:

同樣,圓周率也可以定義為一個圓的面積半徑平方的比值,即:

上述定義僅限於歐幾里得幾何。因為在非歐幾何中,圓周率可能會大於或小於通常值。例如,在轉盤圓周率佯謬中,得到了周長與直徑之比大於π的結果[3]。由於這些問題,數學家有時更願意使用脫離幾何學的定義方式。例如在分析學里,π可以嚴格地定義為滿足sin(x) = 0的最小正實數x[4]。這一定義與上述方式是等價的。

無理性與超越性

化圓為方:求作一正方形,使其面積等於一給定的面積。1882年林德曼證明了此命題無法用尺規作圖完成。

π是一個無理數,即它不能被寫成兩個整數之比。這一性質最早由九世紀阿拉伯數學家花剌子密提出[5]。這一命題的證明由約翰·海因里希·蘭伯特在1768年完成[6]。到了20世紀,數學家們找到了更多只需積分知識即可完成的證明。其中伊萬·尼雲提出的一個證法廣為流傳[7][8]

π也是一個超越數,即它不是任何一個整係數代數方程的根[9]。它的證明由德國數學家費迪南·馮·林德曼於1882年給出。由此可以推出一個重要的結果:π不是規矩數。這意味著使用尺規作圖完成化圓為方的過程是不可能的。此後,德國數學家果爾丹在1893年將這一證明化簡為了初等證明[10]

小數表示

歷史

[11][12][13]

各式各樣的
基本

延伸
其他

圓周率
自然對數的底
虛數單位
無限大

相關內容

參考文獻

  1. ^ 圆周率的来历. 
  2. ^ 圆周率、圆的面积. 楊老師在線. 
  3. ^ 劉宇暉. 转盘佯谬分析 (PDF). 
  4. ^ (英文)Rudin, Walter. Principles of Mathematical Analysis 3e. McGraw-Hill. 1976: 183 [1953]. ISBN 0-07-054235-X. 
  5. ^ (英文)Glimpses in the history of a great number: Pi in Arabic mathematicsby Mustafa Mawaldi
  6. ^ (英文)Lambert, Johann Heinrich, Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes circulaires et logarithmiques, Histoire de l'Académie, XVII (Berlin), 1761, XVII: 265–322 (1768) 
  7. ^ (英文)Niven, Ivan. A simple proof that π is irrational (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society. 1947, 53 (6): 509 [2007-11-04]. doi:10.1090/S0002-9904-1947-08821-2. 
  8. ^ (英文)Richter, Helmut. Pi Is Irrational. Leibniz Rechenzentrum. 1999-07-28 [2007-11-04]. 
  9. ^ (英文)Mayer, Steve. The Transcendence of π. [2007-11-04]. 
  10. ^ 陳仁政. 4.3 超越数时期对π的认识. 《说不尽的π》. 科學出版社. ISBN 978-7-03-014635-9. Mathematische Annalen, 1893, Vol43上 
  11. ^ (英文)The Number Pi in the Bible. 
  12. ^ 圆周率π的计算历程. 中國科學院自動化研究所. 
  13. ^ 陳仁政. 第二章:圆周率的名称. 《说不尽的π》. 科學出版社. ISBN 978-7-03-014635-9. 

外部連結