草稿:盒拓撲

在拓撲學中，拓撲空間的笛卡爾積上有數種不同可行的拓撲。其中一個較自然的選擇是盒拓撲，其中基由組件空間中開集的笛卡爾積給出。 另一種選擇是乘積拓撲，其中基也由組件空間中開集的笛卡爾積給出，但其中只有有限個開集嚴格小於整個組件空間。

雖然盒拓撲的定義比乘積拓撲更直觀，但它滿足的性質較少。特別地，如果所有組件空間都是緊湊的，則它們的笛卡爾積上的盒拓撲不一定是緊湊的，而它們的笛卡爾積上的乘積拓撲始終是緊湊的。一般而言，盒拓撲比乘積拓撲更精細，儘管在有限乘積的情況下（或當除了有限多個因子之外的所有因子都是平凡的時候），兩者是一致的。

定義

對於$X$使得

$X:=\prod _{i\in I}X_{i},$

或拓撲空間的（可能是無限的）笛卡爾積$X_{i}$ ，索引為$i\in I$ ，盒子拓撲$X$由基

${\mathcal {B}}=\left\{\prod _{i\in I}U_{i}\mid U_{i}{\text{ open in }}X_{i}\right\}.$

生成。盒子這個名字來自於$\mathbb {R} ^{n}$的情況，其中基中的開集看起來像盒子。乘積公間$\prod _{i\in I}X_{i}$的盒拓撲的有時用${\underset {i\in I}{\square }}X_{i}$表示。

性質

考慮$\mathbb {R} ^{\omega }$上的盒拓撲：

• 盒拓撲是完全規則的
• 盒子拓撲既不緊湊也不連通
• 盒子拓撲不是第一可數的（因此不是可度量的）
• 盒子拓撲不可分離
• 如果連續統假設成立，則盒子拓撲是仿緊的（因此是正則的和完全正則的）

與積拓撲比較

乘積拓撲中基中的開集的定義與上述盒拓撲幾乎相同，除了有一個限制：除了有限個U _i之外，其他分量開集都等於分量空間X _i 。

乘積拓撲滿足關於分量空間的映射$f_{i}:Y\rightarrow X_{i}$的一個非常理想的性質：由分量函數f _i定義的乘積映射f : Y → X是連續的若且唯若所有的f _i都是連續的。然而這在盒拓撲中不總是成立。這使盒拓撲非常適用於構造反例—許多特性，例如緊湊性、連通性、可度量性等。即使所有因子空間都具有這些特性，在盒拓撲中通常不會保留。

參考文獻

• Steen, Lynn A.和Seebach, J. Arthur Jr.；拓撲學中的反例，Holt, Rinehart 和 Winston (1970)。ISBN 0030794854國際標準書號 0030794854 。

外部連結

• Box topology. PlanetMath.