韋爾萊積分法

韋爾萊算法是一種用於求解牛頓運動方程的數值方法，被廣泛應用於分子動力學模擬以及視頻遊戲中。韋爾萊算法的優點在於：數值穩定性比簡單的歐拉方法高很多，並保持了物理系統中的時間可逆性與相空間體積元體積守恆的性質。

Carl Størmer首次應用韋爾萊算法求解磁場中運動粒子的軌跡，因此韋爾萊算法又被稱為Størmer算法。1967年法國物理學家Loup Verlet將其應用於分子動力學計算，從此韋爾萊算法流行起來。

基本韋爾萊算法

牛頓運動方程為

$a(t)={\frac {f(t)}{m}}$

代入到粒子的坐標關於時間步的Taylor展式中

$r(t+\Delta t)=r(t)+v(t)\Delta t+{\frac {a(t)}{2}}\Delta t^{2}+{\frac {1}{3!}}{\frac {d^{3}r}{dt^{3}}}\Delta t^{3}+{\mathcal {O}}(\Delta t^{4})$

得

$r(t+\Delta t)=r(t)+v(t)\Delta t+{\frac {f(t)}{2m}}\Delta t^{2}+{\frac {1}{3!}}{\frac {d^{3}r}{dt^{3}}}\Delta t^{3}+{\mathcal {O}}(\Delta t^{4})$

同理

$r(t-\Delta t)=r(t)-v(t)\Delta t+{\frac {f(t)}{2m}}\Delta t^{2}-{\frac {1}{3!}}{\frac {d^{3}r}{dt^{3}}}\Delta t^{3}+{\mathcal {O}}(\Delta t^{4}):$

兩式相加，得

$r(t+\Delta t)+r(t-\Delta t)=2r(t)+{\frac {f(t)}{m}}\Delta t^{2}+{\mathcal {O}}(\Delta t^{4})$

則

$r(t+\Delta t)\simeq 2r(t)-r(t-\Delta t)+{\frac {f(t)}{m}}\Delta t^{2}$

新位置的計算誤差為四階，$\Delta t$ 為時間步。因為韋爾萊算法中不涉及速度，如果希望得到速度，須從軌線中推導速度表達式：

$v(t)={\frac {r(t+\Delta t)-r(t-\Delta t)+{\mathcal {O}}(\Delta t^{3})}{2\Delta t}}={\frac {r(t+\Delta t)-r(t-\Delta t)}{2\Delta t}}+{\mathcal {O}}(\Delta t^{2})$

速度表示的韋爾萊算法

一般地，速度表示下的韋爾萊算法更為常用，它可以給出同一時間變量下的速度和位置。它實際上與基本的韋爾萊算法等價，精度相同。

首先對位置進行 Taylor 展開

$r(t+\Delta t)=r(t)+v(t)\Delta t+{\frac {f(t)}{2m}}\Delta t^{2}$

$r(t+2\Delta t)=r(t+\Delta t)+v(t+\Delta t)\Delta t+{\frac {f(t+\Delta t)}{2m}}\Delta t^{2}$

對兩式相減可得

$r(t+2\Delta t)+r(t)=2r(t+\Delta t)+\left[v(t+\Delta t)-v(t)\right]\Delta t+{\frac {f(t+\Delta t)-f(t)}{2m}}\Delta t^{2}$

將最初的 Verlet 公式中的 $t$ 換為 $t+\Delta t$ ，

$r(t+2\Delta t)\simeq 2r(t+\Delta t)-r(t)+{\frac {f(t+\Delta t)}{m}}\Delta t^{2}$

代入前式，可得

$v(t+\Delta t)=v(t)+{\frac {f(t+\Delta t)+f(t)}{2m}}\Delta t$

此式即為速度表示的韋爾萊算法。實際常用的計算步驟為，

1.首先通過 Taylor 展開 $r(t+\Delta t)=r(t)+v(t)\Delta t+{\frac {f(t)}{2m}}\Delta t^{2}$ 計算得到位置 $r(t+\Delta t)$

2.由 $r(t+\Delta t)$ 和系統的相互作用勢條件（如果相互作用僅依賴位置 $r$）可以求的力場 $f(t+\Delta t)$

3.由速度表示的韋爾萊公式求出新的速度 $v(t+\Delta t)$ 。

參考文獻

• Daan Frenkel. 第四章. "Understanding Molecular Simulation - From Algorithms to Applications" Academic Press. 2002.