在數學的分支概率論和算子代數中,非交換概率空間是對經典概率空間、尤其是經典概率論的隨機變量代數表述的推廣。一般的非交換概率空間也稱代數非交換概率空間[1],其定義為一個有單位元的代數 ,其上配備有一個保單位元的線性泛函 。 中元素可視為是非交換版本的隨機變量,而 則計算各隨機變量的期望。出於各種實際目的,代數非交換概率空間定義中的要求往往需要加強,從而引出§ 非交換*-概率空間等概念。
非交換概率空間是非交換概率論的基本數學結構,非交換概率論可應用在譜理論、隨機矩陣和量子力學中。[2]
動機
隨機變量代數與期望
測度論表述中的概率論是基於所謂概率空間 ,即一個總測度為一的(正)測度空間。所謂隨機變量即是其上的實值可測函數,而隨機變量的期望則是其勒貝格積分。
現在考慮全體本質有界的隨機變量,它們構成了一個 上的代數,這裡簡單記作 。在這個代數上,期望映射 是唯一能滿足 且給出單調收斂性質的線性映射,其中 表示 的指示函數。反過來,若具有單調收斂性質的非負線性映射 滿足 (其中 是值為一的常函數,即 上的乘法單位元),則可用 一式唯一地定義一個概率測度。在這個意義上,隨機變量代數的期望映射和概率空間的概率測度是一一對應的。藉助單調類定理,還可建立在單調收斂下封閉的 上的有界函數代數與 的一一對應。[3]
對事件空間地位的降低,以及對代數性質的強調,使得概率論可以有較明顯的推廣方案,來兼容非交換的隨機變量。
量子概率與*-代數
分析性質
定義
非交換概率空間
是一代數非交換概率空間,若 是 上的一個有單位元 的代數, 是 上一個滿足 的線性泛函。一些作者也考慮代數無單位元的情況[4]。
非交換*-概率空間
是一非交換*-概率空間,若 是一個代數非交換概率空間,且滿足:
- 是一個*-代數;
- 是一個正映射,也就是說 中的正元總是被映為非負實數,或者等價地說這個條件結合 意味著 是一個態。
非交換C*-概率空間
是一非交換C*-概率空間,若 是一個非交換*-概率空間,且滿足:
- 是一個C*-代數;
- 態 是非退化的,也就是說
上面的 是一個 誘導的半範數,定義為 形式上它類似於左乘映射 的算子範數。一些作者不要求 為非退化的,因為總是可商去滿足 的元素所構成的*-理想使其成為非退化的[5]。
非交換W*-概率空間
是一非交換W*-概率空間,若 是一個非交換C*-概率空間,且滿足:
- 是一個W*-代數;
- 態 是正規的。或者等價地說, 是超弱連續的。
值得一提的是,即便在非交換概率空間的定義中解除對有單位元的要求,如此定義的非交換W*-概率空間也必然有單位元。
參考文獻
文內引注