連續線性算子 - 維基百科，自由的百科全書

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在泛函分析和數學相關領域，連續線性算子(英語：continuous linear operator)或連續線性映射(英語：continuous linear mapping)是拓撲向量空間之間的連續線性變換。

兩個賦范空間之間的算子是有界線性算子，若且唯若它是連續線性算子。

性質

連續線性算子將有界集映射到有界集。一個線性泛函是連續的，若且唯若其核是閉集。所有有限維空間上的線性泛函是連續的。

以下是等價的：給定拓撲空間X和Y之間的線性算子A：

A在X中的0點處連續。
A在X中的某點 $x_{0}$
A在X中的所有點處連續。

證明用到在線性拓撲空間中的開集的平移仍然是開集，以及等式

A^{-1}(D)+x_{0}=A^{-1}(D+Ax_{0})\,\!

對於Y中的任意集合D和X中的任意x₀成立，這是由於A的可加性。

參考文獻

Rudin, Walter. Functional Analysis. McGraw-Hill Science/Engineering/Math. January 1991. ISBN 0-07-054236-8.

閱論編泛函分析
集合 / 子集	絕對凸集吸收集平衡集有界集 (拓撲向量空間)（英語：Bounded set (topological vector space)）凸集徑向集星形域對稱集凸錐
拓撲向量空間	巴拿赫空間歐幾里得空間希爾伯特空間索伯列夫空間局部凸（英語：Locally convex topological vector space）賦範向量空間（範數）擬賦范空間自反空間拓撲張量積（英語：Topological tensor product） (希爾伯特空間中) 速降函數空間
映射拓撲	對偶空間算子拓撲弱拓撲（英語：Weak topology）強拓撲（英語：Strong topology）拓撲的一致收斂（英語：Topology of uniform convergence）
線性算子	伴隨雙線性形式有界 / 無界連續線性緊 Fredholm（英語：Fredholm operator）希爾伯特-施密特泛函正規核型（英語：Nuclear operator）自伴嚴格奇異算子（英語：Strictly singular operator）跡類有限秩轉置（英語：Transpose of a linear map）酉 / 么正
集合運算	代數內部內部閔可夫斯基和極性集
算子理論	巴拿赫代數 C*-代數譜 (泛函分析) （譜半徑）譜理論（譜定理投影值測度）極分解奇異值分解
定理	阿爾澤拉-阿斯科利定理巴拿赫-阿勞格魯定理巴拿赫-馬祖爾定理（英語：Banach–Mazur theorem）貝爾綱定理貝塞爾不等式柯西-施瓦茨不等式閉值域定理閉圖像定理哈恩-巴拿赫定理角谷不動點定理不變子空間問題 Riesz延拓定理（英語：M. Riesz extension theorem）開映射定理拉克斯-米爾格拉姆定理帕塞瓦爾恆等式肖德爾不動點定理（英語：Schauder fixed point theorem）
分析	導數 (弗雷歇導數加托導數泛函導數) 積分 (博赫納積分佩蒂斯積分（英語：Pettis integral）) 函數演算 (全純函數演算連續函數演算博雷爾函數演算) 反函數定理向量測度弱可測函數

閱論編泛函分析
集合 / 子集	絕對凸集吸收集平衡集有界集 (拓撲向量空間)（英語：Bounded set (topological vector space)）凸集徑向集星形域對稱集凸錐
拓撲向量空間	巴拿赫空間歐幾里得空間希爾伯特空間索伯列夫空間局部凸（英語：Locally convex topological vector space）賦範向量空間（範數）擬賦范空間自反空間拓撲張量積（英語：Topological tensor product） (希爾伯特空間中) 速降函數空間
映射拓撲	對偶空間算子拓撲弱拓撲（英語：Weak topology）強拓撲（英語：Strong topology）拓撲的一致收斂（英語：Topology of uniform convergence）
線性算子	伴隨雙線性形式有界 / 無界連續線性緊 Fredholm（英語：Fredholm operator）希爾伯特-施密特泛函正規核型（英語：Nuclear operator）自伴嚴格奇異算子（英語：Strictly singular operator）跡類有限秩轉置（英語：Transpose of a linear map）酉 / 么正
集合運算	代數內部內部閔可夫斯基和極性集
算子理論	巴拿赫代數 C*-代數譜 (泛函分析) （譜半徑）譜理論（譜定理投影值測度）極分解奇異值分解
定理	阿爾澤拉-阿斯科利定理巴拿赫-阿勞格魯定理巴拿赫-馬祖爾定理（英語：Banach–Mazur theorem）貝爾綱定理貝塞爾不等式柯西-施瓦茨不等式閉值域定理閉圖像定理哈恩-巴拿赫定理角谷不動點定理不變子空間問題 Riesz延拓定理（英語：M. Riesz extension theorem）開映射定理拉克斯-米爾格拉姆定理帕塞瓦爾恆等式肖德爾不動點定理（英語：Schauder fixed point theorem）
分析	導數 (弗雷歇導數加托導數泛函導數) 積分 (博赫納積分佩蒂斯積分（英語：Pettis integral）) 函數演算 (全純函數演算連續函數演算博雷爾函數演算) 反函數定理向量測度弱可測函數