近域

在代數結構中，近域在概念上類似除環，但兩個分配律只滿足一個。另外，近域和近環的區別為近域一定有一個乘法單位元，而且每一個非零元素都有乘法逆元。

定義

近域是一集合 $Q$, ，任兩個元素有兩個二元運算，「+」（加號）和「·」（乘），滿足下列公理：

A1: $(Q,+)$ 是 阿貝爾群。

A2: $(a$·$b)$·$c$ = $a$·$(b$·$c)$ 對所有元素 $a$, $b$, $c$ of $Q$ (乘法結合律)。

A3: $(a+b)$·$c=a$·$c+b$·$c$ 對所有元素 $a$, $b$, $c$ of $Q$ (乘法右分配律)。

A4: $Q$ 含單位元1 $1$·$a=a$·$1=a$ 對所有元素 $a$ of $Q$ (乘法單位元)。

A5:對所有元素a $Q$ 存在元素 $a$ ⁻¹ such that $a$·$a$ ⁻¹ = 1 = $a$ ⁻¹·$a$ (非零元素都有乘法逆元)。

定義附註：

1. 上面定義嚴格說是一個右近域。將A3換為左分配律$c\cdot (a+b)=c\cdot a+c\cdot b$，就可得到左近域。通常「近域」是指「右近域」，但是這不是一個普遍定義。
2. 如果一個右近域也是右偽域（quasifield），則稱之為「平面的」，所有有限近域皆為平面，但無限近域則未必。
3. 其實並不須要指定加群是阿貝爾群，因為這可從其他公理推出，但推導過程相當困難，將此結果做為公理可更快更方便的推導出近域的其它性質
4. 有的定義中A4和A5是由以下公理替換

   A4*：非零元素在乘法下形成群。

   但在此定義下，會有一個二階結構不滿足一些基本定理，如：對所有$x$，$x\cdot 0=0$。所以最好用原始定義。A4及A4*的差別在於，A4是要求1是對所有元素是單位元，A4*只要求非零元素。可經由在2階加群定義一個額外的乘法來形成此例外：對所有$x$及$y$，$x\cdot y=x$。

例子

1. 所有除環都是近域，所有域都是近域。
2. 下面定義一個九階近域，它是最小的非域的近域：

   設 $K$ 為九階伽羅華域，其乘法運算為「$*$」，現定義一個新乘法運算「·」：

• 如果$b$是$K$中任意元素的平方，$a$是$K$中任意元素，則：$a\cdot b=a*b$。
• 如果$b$不是一個元素平方，則：$a\cdot b=a^{3}*b$。

那麼域$K$與原加法及新乘法構成一近域。

歷史與應用

近域的概念由迪克森（Leonard Eugene Dickson）在1905年首次引入。他修改除環的乘法，加法不變，由此產生了第一個非除環的近域。由此法產生的近域被稱為迪克森近域，上述的9階例子即為一迪克森近域。 扎斯豪斯（Hans Zassenhaus）證明，除了七個例外，所有有限近域要麼是域要麼是迪克森近域。[2] 近域最早是應用在幾何研究，如投影幾何。許多投影幾何可經由坐標系上的除環來定義，但有些不能。 馬歇爾·豪爾（Marshall Hall）利用上述的9階近域產生出一豪爾平面，同時也是利用階數為質數平方的迪克森近域產生出的一系列平面的第一個。

近域尚有許多其它應用，大部份在幾何方面。最近的應用在為密碼學，如希爾密碼。

外部連結

• Nearfields （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） by Hauke Klein.