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辮群

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置換群 S4的24個元素

辮群(英語:Braid group)為數學領域中紐結理論的一個概念。一個 股的辮群(記為)是元素為 n-braid 的,其運算為前一個 n-braid 按後一個 n-braid 的方式操作(見 § 舉例說明)。

辮群是由埃米爾·阿廷(1925[1])提出的,因此又被稱為阿廷辮群(英語:Artin Braid group)。[2]

引言

想像有4條橫著擺放的繩子,它們的兩端分別被固定在左右兩側的牆上,如下圖所示,黑點代表被固定的位置。

一種 4 股的辮子
一種 4 股的辮子

我們稱這樣繩子的擺放方式,或是編織的方式為一個辮子(英語:braid)。而正式的寫法中會連繩子的數目也一起表達,將4股的辮子以英文簡寫成 4-braid

如果將剛才的辮子中下面兩條的右端交換位置,會變成下圖的樣子。

另外一種 4 股的辮子
另外一種 4 股的辮子

那麼這兩種會是不同的4股辮子( 英語:4-braid)。 如果將這兩種辮子理解為中的元素,那麼剛才把右端交換位置的操作就是當中的運算。在辮群的討論中,常用這些操作來表示不同的辮子,這種表示方法稱作 braid word[2]

舉例說明

在這個小節中,以為例。

下面的兩條辮子是不同的:

編織sigma1-1    不同於    編織sigma1

但是下面的兩條辮子是相同的:

編織sigma1-1   同於  另一個代表西格瑪1-1

所有的股都必須從左向右移動,所以下面的圖片並不是一條辮子:

不是一個編織    不是辮子

我們可以編兩條辮子:

    加         等於    

另一個例子:

    加        等於    

複合 / 編織物σ和τ的組成寫為στ。

是四股上所有編織物的集合。上面的複合是操作,單位元是四股水平平行股的辮子,辮子B的逆元素是取消B的操作。

應用

辮群的應用包括 陳-西蒙斯理論、亞歷山大定理(Alexander's Theorem)、楊-巴克斯特方程代數幾何任意子、等。[3]

參見

參考文獻

  1. ^ 陳國璋(Kuo-Chang Chen). 利用辮群設計支援可比較搜尋之加密法: 46. 2010 [2023-03-25]. 
  2. ^ 2.0 2.1 Weisstein, Eric W. Braid Group. MathWorld--A Wolfram Web. [2023-03-25]. (原始內容存檔於2023-03-25). 
  3. ^ Cohen, Daniel; Suciu, Alexander. The Braid Monodromy of Plane Algebraic Curves and Hyperplane Arrangements. Commentarii Mathematici Helvetici. 1997, 72 (2): 285–315. arXiv:alg-geom/9608001可免費查閱. doi:10.1007/s000140050017. 
  4. ^ Boyland, Philip L.; Aref, Hassan; Stremler, Mark A., Topological fluid mechanics of stirring (PDF), Journal of Fluid Mechanics, 2000, 403 (1): 277–304, Bibcode:2000JFM...403..277B, MR 1742169, doi:10.1017/S0022112099007107, (原始內容 (PDF)存檔於2011-07-26) 
  5. ^ Gouillart, Emmanuelle; Thiffeault, Jean-Luc; Finn, Matthew D., Topological mixing with ghost rods, Physical Review E, 2006, 73 (3): 036311, Bibcode:2006PhRvE..73c6311G, MR 2231368, arXiv:nlin/0510075可免費查閱, doi:10.1103/PhysRevE.73.036311 
  6. ^ Stremler, Mark A.; Ross, Shane D.; Grover, Piyush; Kumar, Pankaj, Topological chaos and periodic braiding of almost-cyclic sets (PDF), Physical Review Letters, 2011, 106 (11): 114101, Bibcode:2011PhRvL.106k4101S, doi:10.1103/PhysRevLett.106.114101