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賦值環

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抽象代數中,賦值環是一個裡的一類特別子環,可由域上的某個賦值定義。離散賦值環是其中較容易操作的一類。

定義

賦值環是一個整環D,滿足其分式域 F的任一非零元素x,至少有xx −1D. 一個 F 的子環 R 被稱作賦值環,若且唯若對每個 ,必有 。R被稱作其分式域 F賦值環或被稱作在其分式域 F素點

R主理想域,此時 R 被稱為離散賦值環

性質

  • ,則 是 F 中唯一的極大理想
  • 承上, 被稱作 R 的剩餘域

範例

  • 任何都是賦值環。
  • Z(p)是賦值環, ,整數環在質理想局部化,其中分子,分母是不能被p整除的任何整數組成,。分式域有理數Q
  • 複數平面上的亞純函數的麥克勞林級數泰勒級數展開為零)環是一個賦值環。分式域是整個複數平面上的亞純函數。如果f不有麥克勞林系列的1 / f確實。
  • 任何一個給定的質數p p進整數環Zp 是局部環(p進數的分式域Qp域),p進整數環Zp 代數閉體Zpcl也是一個局部環, ZpZpcl都是賦值環。

設k是一個有序的領域。 k的元素被稱為有限的,如果它在於兩個整數N <X <米;否則,它被稱為無限。有限元素的K D是估值環。等元素x的x∈D和X-1∉D是無窮小元素的集合;一個元素x在X∉D和X-1∈D,被稱為無限。 有限元的超現實領域·R環F是一個* R的估值環F由所有超現實的數字,從一個標準的真正的不同,由一個無限小的量,這相當於說超現實數x這樣一些標準的整數n-N <X <N。渣場,有限的超現實數模無窮的超現實數字理想,是同構的實數。

  • 令 X 為一黎曼曲面,x 為其上一點。令 ,則 構成一賦值環。
  • 為域,則 中的賦值環。
  • 中的賦值環。
  • 為一有序交換群 為域, 為一賦值,則 為一賦值環,此時被稱作其值群。可以證明所有的賦值環都由此而來。

文獻

  • Nicolas Bourbaki, Algèbre commutative, Chapitre 5, 6: entiers ; valuations (1964), Eléments de mathématique, P. A. Hermann.