在數學的代數拓撲學中,艾倫伯格-斯廷羅德公理(英語:Eilenberg–Steenrod axioms)是拓撲空間的同調論的共有性質。符合這套公理的同調論的典型例子,是由塞繆爾·艾倫伯格和諾曼·斯廷羅德建立的奇異同調。
同調論可以定義為符合艾倫伯格-斯廷羅德公理的函子列。這個公理化方法在1945年建立,可以用來證明只要符合公理的同調論都會有的共同結果,例如邁耶-菲托里斯序列。
如果省略了其中的維數公理,那麼其餘的公理所定義的是廣義同調論。最早出現的廣義同調論是K-理論和配邊理論。
正式定義
艾倫伯格-斯廷羅德公理用於從拓撲空間偶(X, A)範疇到阿貝爾群範疇的函子列
,連同稱為邊界映射的自然變換
。(在此Hi − 1(A)是Hi − 1(A,∅)的簡記。)這套公理是:
- 恆同映射
在同調群中誘導的同態
是恆同同態。
- 設有空間偶的映射
,
,那麼![{\displaystyle H_{n}(g)\circ H_{n}(f)=H_{n}(g\circ f).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7abc0412b16e4748712cd5dc1cb1ce5abd5d2cde)
- 設有空間偶的映射
,那麼![{\displaystyle \partial \circ H_{n}(f)=H_{n-1}(f|_{A})\circ \partial .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25db2f6f91372be1d4ff158144c273b5326a0597)
- 同倫:同倫的映射在同調群中誘導相同的同態。換言之,如果
同倫於
,那麼其誘導同態相同:
對所有n ≥ 0。
- 切除:設(X, A)是空間偶,U是X的子集,使得U的閉包包含在A的內部之中。那麼包含映射
在同調群中誘導的是同構。
- 維數:設P是單點空間,那麼
對所有n ≠ 0。
- 正合:任何空間偶(X, A)經由包含映射
和
,都在同調群中誘導出長正合序列:
![{\displaystyle \cdots \to H_{n}(A)\to ^{\!\!\!\!\!\!i_{*}}H_{n}(X)\to ^{\!\!\!\!\!\!j_{*}}H_{n}(X,A)\to ^{\!\!\!\!\!\!\partial _{*}}H_{n-1}(A)\to \cdots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1908ed97b9f96ec3174700b56c291b4d76f839f)
約翰·米爾諾增加了一條公理:
- 可加性:設
是拓撲空間族
的不交併,那麼![{\displaystyle H_{n}(X)\cong \bigoplus _{\alpha }H_{n}(X_{\alpha }).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3b6f7cfcb54cc53aa443a568b2053813ce1839e)
設P是單點空間,那麼
稱為係數群。
結果
同調群的一些結果可以用公理推導出,例如同倫等價空間的同調群是同構的。
一些較為簡單的空間的同調群可以直接從公理算出,比如n-球面。因此可以推導出(n-1)-球面不是n-球的收縮。用這個結果可以給出布勞威爾不動點定理的一個證明。
維數公理
如果一個同調論符合差不多所有艾倫伯格-斯廷羅德公理,但維數公理除外,便稱為廣義同調論(對偶概念為廣義上同調論)。一些重要例子在1950年代發現,例如拓撲K-理論和配邊理論,都是廣義上同調論,並有與之對偶的同調論。
參看
參考文獻
- Samuel Eilenberg, Norman E. Steenrod, Axiomatic approach to homology theory, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 31, (1945). 117–120.
- Samuel Eilenberg, Norman E. Steenrod, Foundations of algebraic topology, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1952. xv+328 pp.
- Glen Bredon: Topology and Geometry, 1993, ISBN 0-387-97926-3.
- James W. Vick. Homology Theory: An Introduction to Algebraic Topology 2nd edition. Springer-Verlag. 1994.