玻恩近似

玻恩近似是量子力學中散射理論中為求得李普曼施溫格方程得近似解而提出的近似方法，由1954年諾貝爾獎得主玻恩提出。

量子力學中，散射理論的問題可表述為:

已知$\mid \phi \rangle$，亦即入射波函數，是哈密頓算符$H_{0}$的薛丁格方程的解：

$H_{0}\mid \phi \rangle =E\mid \phi \rangle$

求$H_{0}+V$的薛丁格方程解$\mid \psi \rangle$。 其中V是造成散射的勢。 這一問題可寫作李普曼施溫格方程：

$|\psi ^{(\pm )}\rangle =|\phi \rangle +{\frac {1}{E-H_{0}\pm i\epsilon }}V|\psi ^{(\pm )}\rangle .\,$

其漸進形式漸近分析可寫成：

$\langle \mathbf {x} \mid \psi ^{(+)}\rangle \rightarrow \langle \mathbf {x} \mid \mathbf {k} \rangle -{\frac {1}{4\pi }}{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {e^{ikr}}{r}}\int d^{3}x'e^{-i\mathbf {k} '\cdot \mathbf {x} '}V(\mathbf {x} ')\langle \mathbf {x} \mid \psi ^{(+)}\rangle$

其中$\mid \psi ^{(+)}\rangle$為向外散射的波函數（數學上另有一向內『散射』的波函數與之對應，但在散射問題中不必考慮）。

然而此式為了求得散射的結果，需要對散射結果本身進行積分（即式子右側積分中出現了未知量），因而對於精確求解並無太大幫助。 然而通過玻恩近似，這一方程可以得到低能量下合理的近似解。玻恩近似假定散射的波函數與入射波函數相差較小，因而在積分中可以使用入射波$\mid \phi ^{(+)}\rangle$來進行積分。這樣就獲得了1階玻恩近似（0階玻恩近似即為入射波）。同樣的做法可以遞歸進行，將之前近似獲得的結果帶入積分，即可算出下一步的近似。這種方法是收斂的。 然而，多數情況下超過一階的近似是沒有物理意義的，因為玻恩近似的低能量限制不允許其散射表現更加精細的結構（請求補充說明）。

玻恩近似的一個較為巧合的完美應用出現在對盧瑟福散射公式的推導中。盧瑟福散射公式在拋物線坐標系中可以直接求解薛丁格方程獲得精確解，也可在經典力學下求得經典近似解，同時也可從玻恩近似（一階）獲得近似解。巧合的是，這三種解在庫侖勢下得出完全相同的微分截面。 這種體現了玻恩近似在低能情況下相對於其他近似方法（如Partial wave analysis）而言在收斂速度上的優越性。

參考

1. Sakurai, J.J.（櫻井純）, Ed：Tuan, San Fu(段三復). Modern Quantum Mechanics. Addison-Wesley. 1985: 379-387. ISBN 0-8053-7501-5 （英語）.