在數學 中，我們可以構造任意李代數
L
{\displaystyle L}
泛包絡代數
U
(
L
)
{\displaystyle U(L)}
結合代數 ，但泛包絡代數則是帶乘法單位元的結合代數。李代數的表示理論 可以理解為其泛包絡代數的表示理論。在幾何上，泛包絡代數可以解釋為李群 上的左不變微分算子。
以下固定域
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
U
{\displaystyle U}
[
a
,
b
]
:=
a
b
−
b
a
{\displaystyle [a,b]:=ab-ba}
U
{\displaystyle U}
泛包絡代數係指帶單位元的結合代數
U
(
L
)
{\displaystyle U(L)}
i
:
L
→
L
(
U
)
{\displaystyle i:L\to L(U)}
泛性質 刻劃：
對任意帶乘法單位元的
K
{\displaystyle K}
A
{\displaystyle A}
h
:
L
→
A
{\displaystyle h:L\to A}
則存在唯一的代數同態
g
:
U
(
L
)
→
A
{\displaystyle g:U(L)\to A}
使之滿足
g
∘
i
=
h
{\displaystyle g\circ i=h}
換言之，函子
L
↦
U
(
L
)
{\displaystyle L\mapsto U(L)}
H
o
m
Alg.
(
U
(
L
)
,
A
)
→
∼
H
o
m
Lie alg.
(
L
,
A
)
{\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mbox{Alg.}}(U(L),A){\stackrel {\sim }{\to }}\mathrm {Hom} _{\mbox{Lie alg.}}(L,A)}
g
↦
g
∘
i
{\displaystyle g\mapsto g\circ i}
藉此，可視
U
(
−
)
{\displaystyle U(-)}
U
{\displaystyle U}
↦
U
{\displaystyle \mapsto U}
伴隨函子 。
首先考慮張量代數
T
(
L
)
{\displaystyle T(L)}
i
0
:
L
→
T
(
L
)
{\displaystyle i_{0}:L\to T(L)}
I
⊂
T
(
L
)
{\displaystyle I\subset T(L)}
a
⊗
b
−
b
⊗
a
−
[
a
,
b
]
(
a
,
b
∈
L
)
{\displaystyle a\otimes b-b\otimes a-[a,b]\quad (a,b\in L)}
定義
U
(
L
)
:=
T
(
L
)
/
I
{\displaystyle U(L):=T(L)/I}
所求的映射
i
:
L
→
U
(
L
)
{\displaystyle i:L\to U(L)}
i
0
:
L
→
T
(
L
)
{\displaystyle i_{0}:L\to T(L)}
i
{\displaystyle i}
根據上述構造，可直接驗證所求的泛性質。
若
L
{\displaystyle L}
U
(
L
)
{\displaystyle U(L)}
U
(
L
)
{\displaystyle U(L)}
多項式 代數。
若
L
{\displaystyle L}
G
{\displaystyle G}
U
(
L
)
{\displaystyle U(L)}
G
{\displaystyle G}
U
(
L
)
{\displaystyle U(L)}
Z
(
U
(
L
)
)
{\displaystyle Z(U(L))}
i
(
Z
(
L
)
)
{\displaystyle i(Z(L))}
喀希米爾元素 ；這種元素給出李群上的拉普拉斯算子 。
龐加萊-伯克霍夫-維特定理是泛包絡代數的根本定理之一。取定有限維李代數
L
{\displaystyle L}
X
1
,
…
,
X
n
{\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}
X
1
e
1
⋯
X
n
e
n
(
e
1
,
…
,
e
n
∈
Z
≥
0
)
{\displaystyle X_{1}^{e_{1}}\cdots X_{n}^{e_{n}}\quad (e_{1},\ldots ,e_{n}\in \mathbb {Z} _{\geq 0})}
是
U
(
L
)
{\displaystyle U(L)}
i
:
L
→
U
(
L
)
{\displaystyle i:L\to U(L)}
在泛性質中取
A
=
E
n
d
(
V
)
{\displaystyle A=\mathrm {End} (V)}
V
{\displaystyle V}
L
{\displaystyle L}
U
(
L
)
{\displaystyle U(L)}
U
(
L
)
{\displaystyle U(L)}
模 。藉此觀點，李代數表示理論可視為模論的一支。
群代數 之於群表示 一如泛包絡代數之於李代數的表示。兩者都具有霍普夫代數 結構。
Dixmier, Jacques, Enveloping algebras . Revised reprint of the 1977 translation. Graduate Studies in Mathematics, 11. American Mathematical Society, Providence, RI, 1996. xx+379 pp. ISBN 0-8218-0560-6 
![{\displaystyle [a,b]:=ab-ba}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b025a9a6554e7503120b18eb2927283d8ddf1a5)
![{\displaystyle a\otimes b-b\otimes a-[a,b]\quad (a,b\in L)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f3388596e662faff81034f3773fd256a3bc182d)
